La somme de deux variables est-elle indépendante d'une troisième variable, si elles le sont par elles-mêmes?

Compte tenu de 3 variables aléatoires , et . et sont indépendants. et sont indépendants. Intuitivement, je suppose que et sont indépendants. Est-ce le cas et comment puis-je le prouver formellement?$X_1$$X_2$$Y$$Y$$X_1$$Y$$X_2$$Y$$X_1+X_2$

EDIT: Comme l'ont souligné d'autres utilisateurs, cette réponse n'est pas correcte car elle fait l'hypothèse que est indépendant de$Y$$(X_1,X_2)$

Notez que est une fonction de parce que si vous prenez vous obtenez .$X_1 + X_2$$Z = (X_1,X_2)$

C'est un théorème de probabilité bien connu que si et sont des variables aléatoires indépendantes et et sont des fonctions mesurables, alors est indépendant de (Théorème 10.4 de "Probability: A Graduate Course" 2nd ed. par Allan Gut).$R_1$$R_2$$f_1$$f_2$$f_1(R_1)$$f_2(R_2)$

Puisque est mesurable et Y est indépendant de nous savons que est également indépendant de . Notez que nous avons pris comme fonction d'identité et .$f$$Z$$Y$$f(Z) = X_1 + X_2$$f_1$$f_2 = f$

(Pour terminer ce fil, j'élève un commentaire de user233740 en réponse.)

La déclaration n'est pas vraie.

La possibilité que $X_1+X_2$ pourrait ne pas être indépendant de $Y$ rappelle fortement le problème familier des manuels concernant les variables aléatoires trivariées $(X_1,X_2,Y)$qui sont indépendants par paire mais pas indépendants. Avec cette pensée à l'esprit, considérons l'exemple le plus simple, celui de sélectionner uniformément au hasard l'une des lignes de cette matrice:

Vous pouvez voir que deux colonnes déterminent Bernoulli indépendant$(1/2)$ variables, mais les trois ne sont pas indépendantes car la troisième peut être déterminée à partir des deux autres.

Prenons alors deux de ces colonnes, en les désignant et et que soit la troisième. Observez que lorsque est soit ou (avec une probabilité égale), mais lorsque$X_1$$X_2,$$Y$$Y=0,$ $X_1+X_2$$0$$2$$Y=1,$ $X_1+X_2=1.$ Ainsi, la fonction de probabilité conditionnelle