J'ai lu dans mon manuel que ne garantit pas que X et Y sont indépendants. Mais si elles sont indépendantes, leur covariance doit être égale à 0. Je ne peux encore penser à aucun exemple approprié; quelqu'un pourrait-il en fournir un?
independence
covariance
Cochon volant
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Réponses:
Exemple simple: Soit une variable aléatoire égale à ou avec une probabilité de 0,5. Soit alors une variable aléatoire telle que si et est aléatoire ou avec une probabilité de 0,5 si .- 1 + 1 Y Y = 0 X = - 1 Y - 1 + 1 X = 1X - 1 + 1 Y Y=0 X=−1 Y −1 +1 X=1
Clairement, et sont fortement dépendants (puisque connaître me permet de parfaitement connaître ), mais leur covariance est nulle: ils ont tous les deux une moyenne nulle, etY Y XX Y Y X
Ou plus généralement, prenons toute distribution et tout tels que pour tout (c'est-à-dire une distribution jointe qui est symétrique autour de l’ axe des ) et vous aurez toujours une covariance nulle. Mais vous aurez une non-indépendance à chaque fois que ; c'est-à-dire que les conditionnels ne sont pas tous égaux au marginal. Ou idem pour la symétrie autour de l' axe des .P ( Y | X ) P ( Y = a | X ) = P ( Y = - a | X ) X x P ( Y | X ) ≠ P ( Y ) yP(X) P(Y|X) P(Y=a|X)=P(Y=−a|X) X x P(Y|X)≠P(Y) y
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Voici l'exemple que je donne toujours aux étudiants. Prenez une variable aléatoire avec et , par exemple une variable aléatoire normale avec une moyenne nulle. Prenez . Il est clair que et sont liés, maisX EX=0 EX3=0 Y=X2 X Y
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L'image ci-dessous (source Wikipedia ) contient un certain nombre d'exemples sur la troisième ligne, en particulier les premier et quatrième exemples ont une relation de dépendance forte, mais une corrélation 0 (et une covariance 0).
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Quelques autres exemples, considérons les points de données qui forment un cercle ou une ellipse, la covariance est 0, mais sachant que x vous réduisez y à 2 valeurs. Ou des données dans un carré ou un rectangle. De plus, les données qui forment un X ou un V ou un ^ ou <ou> donneront toutes une covariance 0, mais ne seront pas indépendantes. Si y = sin (x) (ou cos) et x couvre un multiple entier de périodes, alors cov sera égal à 0, mais connaissant x, vous savez y ou au moins | y | dans les cas d'ellipse, x, <et>.
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