Valeur attendue du rapport maximal de n iid variables normales

Supposons sont IID de et laisser désignent la « e plus petit élément de . Comment pourrait-on dépasser la limite maximale attendue du rapport entre deux éléments consécutifs dans ? Autrement dit, comment pouvez-vous calculer une limite supérieure sur: $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

La littérature que j'ai pu trouver est principalement axée sur le rapport entre deux variables aléatoires, ce qui donne une distribution de rapports pour laquelle le pdf de deux distributions normales non corrélées est donné ici: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Bien que cela me permette de dépasser le rapport moyen attendu de $n$ variables, je ne vois pas comment généraliser ce concept pour trouver le rapport maximal attendu de $n$ variables.

expected-value order-statistics ratio maximum Max
la source

Comme indiqué ci-dessous, l'attente du ratio de deux statistiques de commande consécutives ne converge pas. Mais si c'est le cas, ou si vous êtes intéressé par leur différence, dites

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$ ... le problème devrait en fait simplifier la recherche du rapport (ou de la différence, selon le cas) des deux plus grandes statistiques d'ordre ie

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$ ... juste à partir de la forme des queues normales.

wolfies

L'attente n'est pas définie.

Soit iid selon toute distribution avec la propriété suivante: il existe un nombre positif et un positif tel que $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

pour tous les . Cette propriété est vraie de toute distribution continue, telle une distribution normale, dont la densité est continue et non nulle à , alors , ce qui nous permet de prendre pour toute valeur fixe comprise entre et . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

Pour simplifier l'analyse, je supposerai également et , qui sont tous deux vrais pour toutes les distributions normales. (Ce dernier peut être assuré en remaniant si nécessaire. Le premier n'est utilisé que pour permettre une simple sous-estimation d'une probabilité.) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

Soit et surestimons la fonction de survie du rapport comme $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

Cette dernière probabilité est la chance que exactement du dépasse , exactement un se situe dans l'intervalle , et les restants (le cas échéant) ne sont pas positifs. En termes de cette chance est donnée par l'expression multinomiale $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Lorsque , l'inégalité fournit une borne inférieure proportionnelle à , ce qui montre que $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

La fonction de survie de , a une queue se comportant asymptotiquement comme : c'est-à-dire pour un nombre positif . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

Par définition, l'attente de toute variable aléatoire est l'attente de sa partie positive plus l'attente de sa partie négative . Puisque la partie positive de l'attente - si elle existe - est l'intégrale de la fonction de survie (de à ) et $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

la partie positive de l'espérance de diverge. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

Le même argument appliqué aux variables montre la partie négative des attentes divergentes. Ainsi, l'attente du ratio n'est même pas infinie: elle n'est pas définie. $-X_i$

whuber
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+1 J'essayais moi-même un cas «simple» , et j'ai essayé d'évaluer les attentes ... et je suis arrivé à la même conclusion: l'intégrale des attentes ne converge pas. Peut-être que le PO remaniera la question sous une forme différente, comme des différences plutôt que des ratios

n = 3

$n = 3$

Wolfies

Valeur attendue du rapport maximal de n iid variables normales

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