Statistiques sur l'indépendance et l'ordre

J'ai un problème sous la main, que je ne peux pas résoudre. Quelqu'un peut-il m'aider à commencer?

$Y_1<Y_2<Y_3$ : Une statistique d'ordre de taille 3 à partir d'une distribution ayant pdf Définissez également La tâche consiste à calculer le pdf commun de .

$$f(x)=2x\ \ \ 0<x<1$$ $$U_1={Y_1\over Y_2} \ \ \text{and }\ \ \ U_2={Y_2\over Y_3}$$ $U_1\ \&\ U_2$

Mon travail: j'ai découvert le marginal de .$U_1\ \&\ U_2$

$$P(U_1\le u_1)=\int_0^1\int_0^{u_1y_2}f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)dy_1dy_2$$ $$P(U_2\le u_2)=\int_0^1\int_0^{u_2y_3}f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3)dy_2dy_3$$ Quelle étape dois-je faire ensuite?

Voici un guide pour résoudre ce problème (et d'autres comme celui-ci). J'utilise des valeurs simulées pour illustrer, commençons donc par simuler un grand nombre de réalisations indépendantes de la distribution avec la densité . (Tout le code de cette réponse est écrit .)$f$R

n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)

# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
  hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Les histogrammes montrent réalisations indépendantes des premier, deuxième et troisième éléments des ensembles de données. Le graphique des courbes rouges . Le fait qu'ils coïncident avec les histogrammes confirme que la simulation fonctionne comme prévu.$40,000$$f$

Vous devez déterminer la densité de jointure de . $(Y_1, Y_2, Y_3)$Puisque vous étudiez les statistiques de commande, cela devrait être routinier - mais le code donne quelques indices, car il trace leurs distributions pour référence.

y <- apply(x, 2, sort)

# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
  hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
  curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Les mêmes données ont été réorganisées dans chacun des ensembles de données. À gauche, l'histogramme de leurs minima , à droite leurs maxima et au milieu leurs médianes .$40,000$$Y_1$$Y_3$$Y_2$

Ensuite, calculez directement la distribution conjointe de . $(U_1, U_2)$ Par définition, c'est

$$F(u_1, u_2) = \Pr(U_1 \le u_1, U_2 \le u_2) = \Pr(Y_1 \le u_1 Y_2, Y_2 \le u_2 Y_3).$$

Puisque vous avez calculé la densité conjointe de , il s'agit de faire systématiquement l'intégrale (triple) exprimée par la probabilité de droite. La région d'intégration doit être$(Y_1, Y_2, Y_3)$

$$0 \le Y_1 \le u_1 Y_2,\ 0 \le Y_2 \le u_2 Y_3,\ 0 \le Y_3 \le 1.$$

La simulation peut nous donner une idée de la façon dont sont distribués: voici un nuage de points des valeurs réalisées de . Votre réponse théorique devrait décrire cette densité.$(U_1, U_2)$$(U_1, U_2)$

par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)

À titre de vérification, nous pouvons examiner les distributions marginales et les comparer aux solutions théoriques. Les densités marginales, représentées par des courbes rouges, sont obtenues comme et .$\partial F(u_1, 1)/\partial u_1$$\partial F(1, u_2)/\partial u_2$

par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))

Il est curieux que ait la même distribution que le origine .$U_1$$X_i$

Voici une solution symbolique exacte qui retrace les étapes requises ... ici en utilisant des outils automatisés pour faire les petits grincheux

Soit un échantillon de taille 3 du pdf parent :$(X_1, X_2, X_3)$$f(x)$

Ensuite, le pdf commun de l'échantillon ordonné est dit :$(X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)})$$g(x_1,x_2,x_3)$

où j'utilise la OrderStatfonction du package mathStatica pour Mathematica .

Le cdf commun de est :$(U_1, U_2)$$P\big(\frac{X_{(1)}}{X_{(2)}}<u_1, \,\frac{X_{(2)}}{X_{(3)}}<u_2\big)$

Le pdf commun de est dérivé en différenciant simplement le cdf wrt et :$(U_1, U_2)$$u_1$$u_2$

Enfin, en guise de vérification rapide de Monte Carlo, voici une comparaison de:

• la solution théorique exacte dérivée (le joint pdf - la surface orange)

• tracé par rapport à un pdf conjoint simulé Monte Carlo empirique (histogramme 3D):