Intervalle de confiance du troisième moment de la distribution normale

Comment calculer l'intervalle de confiance exact pour le troisième moment de la distribution normale $N(a, \sigma^2)$?

Afin de trouver un intervalle de confiance pour cette quantité, vous devrez former une quantité pivot qui utilise le troisième moment brut comme seul paramètre inconnu. Il n'est peut-être pas possible de le faire exactement, mais vous pouvez généralement obtenir quelque chose qui est une quantité approximativement pivotante qui peut être utilisée pour former un intervalle de confiance approximatif. Pour ce faire, nous allons d'abord trouver la forme du troisième moment brut qui est estimé, puis construire un échantillon estimateur de ce moment, puis essayer de l'utiliser pour construire une quantité quasi-pivot et l'intervalle de confiance résultant.

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Quel est le troisième moment brut d'une distribution normale? Prendre$X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)$ être une variable aléatoire normale arbitraire et définir $Y = X-\mu \sim \text{N}(0, \sigma^2)$. Le troisième moment brut de$X$ est:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mu_3 \equiv \mathbb{E}(X^3) &= \mathbb{E}((\mu + Y)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(Y^3 + 3 \mu Y^2 + 3 \mu^2 Y + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \sigma^2 + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= 3 \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Il s'agit du paramètre que vous essayez d'estimer dans votre analyse.

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Estimateur non biaisé du troisième moment brut: nous estimons habituellement le paramètre moyen avec la moyenne de l'échantillon et le paramètre de variance avec la variance de l'échantillon, mais dans ce cas, nous voulons estimer une fonction de ces choses, et la substitution de ces estimateurs est susceptible de conduire à un estimateur biaisé. Nous commencerons par essayer de trouver un estimateur non biaisé du troisième moment brut. Pour ce faire, nous commençons par noter que:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}((\mu + \bar{Y}_n)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{Y}_n^3 + 3 \mu \bar{Y}_n^2 + 3 \mu^2 \bar{Y}_n + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \frac{\sigma^2}{n} + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Nous savons par le théorème de Cochran que la moyenne et la variance de l'échantillon des données normales sont indépendantes, et nous avons donc également$\mathbb{E}(\bar{X}_n S_n^2) = \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(S_n^2) = \mu \sigma^2$. Par conséquent, sur la base de ces résultats, nous pouvons former l' estimateur sans biais :

$$\hat{\mu}_3 = \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3.$$

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Variance de l'estimateur: Nous savons que la valeur attendue de cet estimateur est égale au troisième moment brut de la distribution (pour le voir, remplacez simplement les expressions de valeur attendues ci-dessus), mais la variance de l'estimateur est difficile à calculer. Comme résultats préliminaires, nous avons:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) &= \mathbb{V}(\bar{X}_n) \mathbb{V}(S^2) \\[6pt] &= \frac{1}{n} \sigma^2 \cdot \frac{2}{n-1} \sigma^4 \\[6pt] &= \frac{2}{n(n-1)} \sigma^6, \\[12pt] \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^6) - \mathbb{E}(\bar{X}_n^3)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{9}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) \\[6pt] &= \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2, \\[12pt] \mathbb{C}(\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4 S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n S^2) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4) \mathbb{E}(S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \mathbb{E}(S^2) \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \mu \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \Big( \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^2} \sigma^6 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^4. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Cela nous donne la variance:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\hat{\mu}_3) &= \mathbb{V} \Big( \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3 \Big) \\[6pt] &= \frac{9(n-1)^2}{n^2} \cdot \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) + \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) + \frac{3(n-1)}{n} \cdot \mathbb{C} (\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \frac{18(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2 \Big) + \Big( \frac{9(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \frac{9(n-1)}{n^2} \mu^2 \sigma^4 \Big) \\[6pt] &= \frac{27n-12}{n^3} \cdot \sigma^6 + \frac{9n+27}{n^2} \cdot \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \cdot \mu^4 \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^3} \Big[ (9n-4) \sigma^6 + (3n^2+9n) \mu^2 \sigma^4 + 3n^2 \mu^4 \sigma^2 \Big]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

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Formation d'un intervalle de confiance: À partir des résultats ci-dessus, nous pouvons obtenir un estimateur sans biais pour le troisième moment brut, avec une variance connue. La distribution exacte de cet estimateur est compliquée et sa densité ne peut pas être exprimée sous forme fermée. Il est possible de former une quantité studentisée avec cet estimateur, d'approximer sa distribution et de la traiter comme une quantité quasi pivot pour obtenir un intervalle de confiance approximatif. Cependant, ce ne serait pas un intervalle de confiance exact.

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