Je continue à lire dans des revues économiques sur un résultat particulier utilisé dans des modèles d'utilité aléatoires. Une version du résultat est: si Gumbel ( , alors:
où est la constante d'Euler-Mascheroni. J'ai vérifié que cela a du sens en utilisant R, et c'est le cas. Le CDF pour la distribution de Gumbel est:
J'essaie d'en trouver une preuve et je n'ai pas réussi. J'ai essayé de le prouver moi-même mais je ne peux pas franchir une étape particulière.
Quelqu'un peut-il me montrer une preuve de cela? Sinon, je peux peut-être poster ma tentative de preuve jusqu'à l'endroit où je suis bloqué.
expected-value
gumbel
Jason
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Réponses:
J'apprécie le travail exposé dans votre réponse: merci pour cette contribution. Le but de cet article est de fournir une démonstration plus simple. La valeur de la simplicité est la révélation: nous pouvons facilement obtenir la distribution entière du maximum, pas seulement son attente.
Ignorez en l'absorbant dans le et en supposant que le ont tous une distribution de Gumbel . (Autrement dit, remplacez chaque par et remplacez par .) Cela ne change pas la variable aléatoireμ δi ϵi (0,1) ϵi ϵi−μ δi δi+μ
L'indépendance de implique pour tout réel que est le produit des chances individuelles . Prendre des journaux et appliquer les propriétés de base des rendements exponentielsϵi x Pr(X≤x) Pr(δi+ϵi≤x)
Il s'agit du logarithme du CDF d'une distribution de Gumbel avec le paramètre d'emplacement C'est,λ=log∑ieδi.
C'est beaucoup plus d'informations que demandé. La moyenne d'une telle distribution est entraînantγ+λ,
QED.
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Il se trouve que l' Econometrica article de Kenneth Petit et Harvey Rosen a montré cela en 1981, mais dans un contexte très spécialisé de sorte que le résultat nécessite beaucoup de creuser, sans parler d' une formation en économie. J'ai décidé de le prouver d'une manière que je trouve plus accessible.
Preuve : Soit le nombre d'alternatives. En fonction des valeurs du vecteur , la fonction prend différentes valeurs. Tout d'abord, concentrez-vous sur les valeurs de telles que . Autrement dit, nous allons intégrer sur l'ensemble :J ϵ={ϵ1,...,ϵJ} maxi(δi+ϵi) ϵ maxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1 δ1+ϵ1 M1≡{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j≠1}
Le terme ci-dessus est le premier de tels termes dans . Plus précisément,J E[maxi(δi+ϵi)]
Maintenant, nous appliquons la forme fonctionnelle de la distribution de Gumbel. Cela donne
où la deuxième étape vient de la collecte d'un des termes exponentiels dans le produit, avec le fait que si .δj−δi=0 i=j
Maintenant, nous définissons , et faisons la substitution , de sorte que et . Notez que lorsque approche de l'infini, approche de 0 et que approche de l'infini négatif, approche de l'infini.Di≡∑jeδj−δi x=Dieμ−ϵi dx=−Dieμ−ϵidϵi⇒−dxDi=eμ−ϵidϵi ϵi=μ−log(xDi) ϵi x ϵi x
La fonction gamma est définie comme . Pour les valeurs de qui sont des entiers positifs, cela équivaut à, donc . De plus, on sait que la constante d'Euler-Mascheroni, satisfaitΓ(t)=∫∞0xt−1e−xdx t Γ(t)=(t−1)! Γ(1)=0!=1 γ≈0.57722
L'application de ces faits donne
Ensuite, nous additionnons pour obteniri
Rappelons que . Notez que les probabilités de choix logit familières sont des inverses des , ou en d'autres termes . Notez également que . Ensuite nous avonsDi=∑jeδj−δi=∑jeδjeδi Pi=eδi∑jδj Di Pi=1/Di ∑iPi=1
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