Attente du maximum de variables iid Gumbel

12

Je continue à lire dans des revues économiques sur un résultat particulier utilisé dans des modèles d'utilité aléatoires. Une version du résultat est: si Gumbel ( , alors:ϵiiid,μ,1),i

E[maxi(δi+ϵi)]=μ+γ+ln(iexp{δi}),

γ0.52277 est la constante d'Euler-Mascheroni. J'ai vérifié que cela a du sens en utilisant R, et c'est le cas. Le CDF pour la distribution de Gumbel (μ,1) est:

G(ϵi)=exp(exp((ϵiμ)))

J'essaie d'en trouver une preuve et je n'ai pas réussi. J'ai essayé de le prouver moi-même mais je ne peux pas franchir une étape particulière.

Quelqu'un peut-il me montrer une preuve de cela? Sinon, je peux peut-être poster ma tentative de preuve jusqu'à l'endroit où je suis bloqué.

Jason
la source

Réponses:

7

J'apprécie le travail exposé dans votre réponse: merci pour cette contribution. Le but de cet article est de fournir une démonstration plus simple. La valeur de la simplicité est la révélation: nous pouvons facilement obtenir la distribution entière du maximum, pas seulement son attente.


Ignorez en l'absorbant dans le et en supposant que le ont tous une distribution de Gumbel . (Autrement dit, remplacez chaque par et remplacez par .) Cela ne change pas la variable aléatoireμδiϵi(0,1)ϵiϵiμδiδi+μ

X=maxi(δi+ϵi)=maxi((δi+μ)+(ϵiμ)).

L'indépendance de implique pour tout réel que est le produit des chances individuelles . Prendre des journaux et appliquer les propriétés de base des rendements exponentielsϵixPr(Xx)Pr(δi+ϵix)

logPr(Xx)=logiPr(δi+ϵix)=ilogPr(ϵixδi)=ieδiex=exp(x+logieδi).

Il s'agit du logarithme du CDF d'une distribution de Gumbel avec le paramètre d'emplacement C'est,λ=logieδi.

X a une distribution Gumbel .(logieδi,1)

C'est beaucoup plus d'informations que demandé. La moyenne d'une telle distribution est entraînantγ+λ,

E[X]=γ+logieδi,

QED.

whuber
la source
12

Il se trouve que l' Econometrica article de Kenneth Petit et Harvey Rosen a montré cela en 1981, mais dans un contexte très spécialisé de sorte que le résultat nécessite beaucoup de creuser, sans parler d' une formation en économie. J'ai décidé de le prouver d'une manière que je trouve plus accessible.

Preuve : Soit le nombre d'alternatives. En fonction des valeurs du vecteur , la fonction prend différentes valeurs. Tout d'abord, concentrez-vous sur les valeurs de telles que . Autrement dit, nous allons intégrer sur l'ensemble :Jϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j1}

EϵM1[maxi(δi+ϵi)]=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[δ1+ϵ1δ2...δ1+ϵ1δJf(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(δ1+ϵ1δ2f(ϵ2)dϵ2)...(δ1+ϵ1δJf(ϵJ)dϵJ)dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1δ2)...F(δ1+ϵ1δJ)dϵ1

Le terme ci-dessus est le premier de tels termes dans . Plus précisément,JE[maxi(δi+ϵi)]

E[maxi(δi+ϵi)]=iEϵMi[maxi(δi+ϵi)].

Maintenant, nous appliquons la forme fonctionnelle de la distribution de Gumbel. Cela donne

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=(δi+ϵi)eμϵieeμϵijieeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵijeeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{jeμϵi+δjδi}dϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{eμϵijeδjδi}dϵi

où la deuxième étape vient de la collecte d'un des termes exponentiels dans le produit, avec le fait que si .δjδi=0i=j

Maintenant, nous définissons , et faisons la substitution , de sorte que et . Notez que lorsque approche de l'infini, approche de 0 et que approche de l'infini négatif, approche de l'infini. Dijeδjδix=Dieμϵidx=DieμϵidϵidxDi=eμϵidϵiϵi=μlog(xDi)ϵixϵix

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=0(δi+μlog[xDi])(1Di)exp{x}dx=1Di0(δi+μlog[xDi])exdx=δi+μDi0exdx1Di0log[x]exdx+log[Di]Di0exdx

La fonction gamma est définie comme . Pour les valeurs de qui sont des entiers positifs, cela équivaut à, donc . De plus, on sait que la constante d'Euler-Mascheroni, satisfaitΓ(t)=0xt1exdxtΓ(t)=(t1)!Γ(1)=0!=1γ0.57722

γ=0log[x]exdx.

L'application de ces faits donne

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di

Ensuite, nous additionnons pour obteniri

E[maxi(δi+ϵi)]=iδi+μ+γ+log[Di]Di

Rappelons que . Notez que les probabilités de choix logit familières sont des inverses des , ou en d'autres termes . Notez également que . Ensuite nous avonsDi=jeδjδi=jeδjeδiPi=eδijδjDiPi=1/DiiPi=1

E[maxi(δi+ϵi)]=iPi(δi+μ+γ+log[Di])=(μ+γ)iPi+iPiδi+iPilog[Di]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδjeδi]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδj]iPilog[eδi]=μ+γ+iPiδi+log[jeδj]iPiiPiδi=μ+γ+log[jexp{δj}].
QED
Jason
la source
3
J'ai lié ce que je crois être l'article auquel vous faites référence, sans vraiment le parcourir pour en être sûr; veuillez corriger en cas d'erreur.
Dougal
@Jason Savez-vous comment prouver ce que c'est quand le max est conditionnel à ce que l'un soit le max? Voir la question ici non résolue: stats.stackexchange.com/questions/260847/…
wolfsatthedoor