La normalité conjointe est-elle une condition nécessaire pour que la somme des variables aléatoires normales soit normale?

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Dans les commentaires qui suivent ma réponse à une question connexe, les utilisateurs ssdecontrol et Glen_b ont demandé si la normalité conjointe de et était nécessaire pour affirmer la normalité de la somme ? Bien entendu, le fait que la normalité commune soit suffisante est bien connu. Cette question supplémentaire n'y a pas été abordée et mérite peut-être d'être examinée en soi. $X$ $Y$ $X+Y$

Puisque la normalité conjointe implique une normalité marginale, je demande

Existe-t-il des variables aléatoires normales et telles que est une variable aléatoire normale, mais et ne sont pas conjointement des variables aléatoires normales? $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

Si et n'ont pas besoin d'avoir des distributions normales, il est facile de trouver de telles variables aléatoires normales. Un exemple peut être trouvé dans ma réponse précédente (le lien est donné ci-dessus). Je crois que la réponse à la question surlignée ci-dessus est Oui, et j'ai publié (ce que je pense être) un exemple comme réponse à cette question. $X$ $Y$

probability normal-distribution distributions bivariate multivariate-normal Dilip Sarwate
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Comment voulez-vous gérer les distributions dégénérées? Par exemple, si

est une normale standard et

, alors la distribution conjointe de

et

est une distribution normale dégénérée et

est une normale standard.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

Brian Borchers

@BrianBorchers

et

sont des variables aléatoires conjointement normales même si la distribution est dégénérée comme vous le dites. La définition standard de la normalité conjointe est que

et

sont conjointement normaux si

est normal pour tous les choix de

. Ici,

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$ est un cas dégénéré qui est néanmoins appelé une variable aléatoire normale par courtoisie.

Dilip Sarwate

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Soit iid . $U,V$ $N(0,1)$

Maintenant, transformez comme suit: $(U,V) \to (X,Y)$

$U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

Pour les autres quadrants, faites pivoter ce mappage autour de l'origine.

La distribution bivariée résultante ressemble (vue de dessus):

$\hspace{1.5 cm}$

- le violet représente les régions avec une probabilité doublée et les régions blanches sont celles sans probabilité. Les cercles noirs sont des contours de densité constante (partout sur le cercle pour , mais à l'intérieur de chaque région colorée pour ). $(U,V)$ $(X,Y)$

Par symétrie, et sont normaux (en regardant vers le bas sur une ligne verticale ou le long d'une ligne horizontale, il y a un point violet pour chaque blanc que nous pouvons considérer comme étant inversé sur l'axe que la ligne horizontale ou verticale traverse) $X$ $Y$
mais sont clairement pas normaux bivariés, et $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ qui est (de manière équivalente, regardez le long des lignes de constante et voyez que nous avons une symétrie similaire à celle dont nous avons discuté en 1., mais cette fois au sujet du Ligne ) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

Glen_b -Reinstate Monica
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+1 et un Accept; cette construction est beaucoup plus agréable que celle de ma propre réponse!

Dilip Sarwate

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Considérons des variables aléatoires conjointes continues avec une fonction de densité conjointe où désigne la fonction de densité normale standard. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Il est clair que et sont des variables aléatoires dépendantes . Il est également clair qu'il ne s'agit pas de variables aléatoires communes normales. Cependant, les trois paires sont des variables aléatoires indépendantes par paires : en fait, des variables aléatoires normales standard indépendantes (et donc des variables aléatoires normales conjointement par paires). En bref, sont un exemple de variables aléatoires normales indépendantes par paire mais non indépendantes les unes des autres. Voir ma réponse pour plus de détails. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

$U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ $Y$ $X+Y$

Autrement dit, la normalité conjointe est une condition suffisante pour affirmer la normalité d'une somme de variables aléatoires normales, mais ce n'est pas une condition nécessaire.

$X$ $Y$
$(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

Commentaire: La normalité conjointe de et suffit pour la normalité de mais elle implique aussi beaucoup plus: est normal pour tous les choix de . Ici, nous avons besoin que soit normal pour seulement trois choix de , à savoir, où les deux premiers imposent le souvent ignoré condition (voir par exemple la réponse de ) que les densités (marginales) de et doivent être des densités normales, et la troisième dit que la somme doit également avoir une densité normale. Ainsi, nous pouvons $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ ont des variables aléatoires normales qui ne sont pas conjointement normales mais dont la somme est normale parce que peu nous importe ce qui se passe pour les autres choix de . $(a,b)$

Dilip Sarwate
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La normalité conjointe est-elle une condition nécessaire pour que la somme des variables aléatoires normales soit normale?

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