Prouver ou fournir un contre-exemple:

Si $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ , alors $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

Ma tentative :

FAUX: supposons que $X$ ne puisse prendre que des valeurs négatives et supposons que $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

ALORS $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ , cependant pour même $n$ , $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ n'est pas strictement négatif. Au lieu de cela, il alterne le négatif au positif et au négatif. Par conséquent, $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ ne converge pas presque sûrement vers $X$ .

Est-ce une réponse raisonnable ?? Sinon, comment puis-je améliorer ma réponse?

self-study convergence geometric-mean Lewkrr
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doit être strictement positif pour que cela soit significatif.

X_{i}

$X_i$

user765195

Bien sûr, vous avez besoin de

pour définir correctement

. Prouver d'abord que

converge vers

as (google "Cesaro mean" dans Real Analysis et adapter l'argument). Considérons alors

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

Zen

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

L'intuition est que vous calculez la moyenne avec de plus en plus de plus en plus proches de , et ils finissent par dominer le résultat.

x_{i}

$x_i$

L

$L$

Zen

Réponses:

Avant de prouver quelque chose d'intéressant, notez que presque sûrement pour tout n'est pas une condition nécessaire pour que les deux déclarations aient un sens, comme l' illustre la séquence déterministe . $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

De plus, l'énoncé est en effet faux en général, comme le prouve la séquence déterministe suivante: . $(0, 1, 1, \dots)$

Supposons maintenant presque sûrement pour tous les , alors la déclaration est vraie par l'argument suivant: $X_i >0$ $i$

DéfinissezPar continuité de , presque sûrement. Ainsi, presque sûrement par un résultat pour Cesaro signifie également prouvé dans les commentaires ci-dessus. Ainsi, par continuité de , presque sûrement.

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

ekvall
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Cette affirmation est fausse. Je donne la preuve en fournissant un contre-exemple.

Supposons que la séquence aléatoire soit définie comme suit: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

Clairement, est (1) dégénéré et (2) converge presque sûrement vers comme par la loi forte de Chebyshev des grands nombres. (Pour voir cela, réécrivez pour .) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

Cependant, puisque , . Par conséquent, , donc il convergera trivialement vers la limite à , c'est-à-dire . $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

Jeremias K
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Vous semblez avoir oublié l' exposant .

1 / n

$1/n$

whuber

Merci whuber, je l'ai corrigé :) Je devrais vraiment travailler à lire les choses plus attentivement ... J'ai aussi d'abord prouvé que l'instruction ne tient pas non plus pour parce que je n'a pas lu correctement.

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

Jeremias K

Merci. Tous ces calculs semblent masquer une idée simple: si est différent de zéro, vous ne changerez pas la limite en changeant tout nombre fini de en zéro, mais cela rendra le produit nul et vous obtiendrez une contradiction. C'est suffisant. Cependant, sauf indication contraire, les déclarations sur les produits infinis doivent être comprises comme des déclarations sur les sommes infinies des logarithmes. En particulier, l'intérêt pour cette question se concentre sur le cas où chaque est presque sûrement strictement positif .

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

whuber

@whuber ce dernier commentaire est intéressant. Est-il vrai que les limites de produits sont par convention, ou peut-être par définition (?), Comprises en termes de logarithmes? Si c'est le cas, je modifierais également le libellé de ma réponse ci-dessus. En particulier, le dernier appel à la continuité serait superflu.

ekvall

@Student Le raisonnement de votre réponse est correct. Dans les applications statistiques, il est rare que quelqu'un envisage une telle limite de moyennes géométriques à moins qu'il ne pense déjà en termes de logarithmes.

whuber