Si

Voici un problème survenu lors d'un examen semestriel dans notre université il y a quelques années et que j'ai du mal à résoudre.

Si $X_1,X_2$ sont des variables aléatoires indépendantes $\beta$ avec des densités $\beta(n_1,n_2)$ et $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ montrent alors que $\sqrt{X_1X_2}$ suit $\beta(2n_1,2n_2)$ .

J'ai utilisé la méthode jacobienne pour obtenir que la densité de $Y=\sqrt{X_1X_2}$ est comme suit:

F_{Oui} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{X^{2}} (1 - X^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{X^{2}})^{n_{2} - 1} ré X

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

Je suis perdu à ce stade en fait. Maintenant, dans le journal principal, j'ai trouvé un indice avait été fourni. J'ai essayé d'utiliser l'indice mais je n'ai pas pu obtenir les expressions souhaitées. L'astuce est textuellement la suivante:

Astuce: dériver une formule pour la densité de en termes des densités données deetet essayez d'utiliser un changement de variable avec $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ . $z=\dfrac{y^2}{x}$

Donc, à ce stade, j'essaie d'utiliser cette astuce en considérant ce changement de variable. D'où je reçois, qui après simplification se révèle être (écrirepour)

F_{Oui} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} ré z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

F_{Oui} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{X^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{X^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} ré X

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

Je ne sais pas vraiment comment procéder. Je ne suis même pas sûr d'interpréter correctement l'indice. Quoi qu'il en soit, voici le reste de l'indice:

Observez cela en utilisant le changement de variable , la densité requise peut être exprimée de deux manières pour obtenir en faisant la moyenne de $z=\dfrac{y^2}{x}$ Maintenant, divisez la plage d'intégration enetet écrivez
$F_{Oui} (y) = c o n s t une n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{X})^{n_{2} - 1} (1 - X)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{X}) \frac{1}{\sqrt{X}} ré X$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ et procéder avec $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ . $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

Eh bien, honnêtement, je ne comprends pas comment on peut utiliser ces indices: il semble que je ne sois nulle part. L'aide est appréciée. Merci d'avance.

self-study random-variable beta-distribution distributions jacobian Landon Carter
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J'ai vu un problème similaire avant lequel j'avais compilé quelques références. Voir arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/…

Sid

@Sid Désolé mais je n'ai pas trouvé ce problème dans ces références ou quelque chose de similaire. Pourriez-vous indiquer les endroits avec bonté? Merci!!

Landon Carter

F_{Oui} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0,5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{X}} [(1 - \frac{y^{2}}{X}) (1 - X)]^{n_{1} - 1} ré X

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

Je ne pense pas que ce soit pareil. En faisant le changement de variable que vous mentionnez dans ma formule, j'obtiens quelque chose d'un peu plus simple que ce que vous avez dans la première intégrale de votre OP.

StijnDeVuyst

Réponses:

$q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

$q$ $B$

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q} F_{X_{1}} (X_{1}) F_{X_{2}} (X_{2}) ré X_{1} ré X_{2} = \int X^{q / 2} F_{X_{1}} (X_{1}) ré X_{1} \cdot \int X_{2}^{q / 2} F_{X_{2}} (X_{2}) ré X_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int X_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - X_{1})^{n_{2} - 1} ré X_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int X_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - X_{2})^{n_{2} - 1} ré X_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

StijnDeVuyst
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Je ne pense pas que l'on puisse dire que l'égalité des moments implique l'égalité de la distribution. Il existe des exemples où cela peut ne pas tenir.

Landon Carter

StijnDeVuyst, désolé, ce n'est pas une réponse acceptable. J'ai un exemple où les moments sont égaux mais les distributions ne sont pas les mêmes. L'exemple est un peu compliqué cependant. Malheureusement, je n'ai pas l'exemple avec moi maintenant; il est également venu dans un examen semestriel. Mais bientôt je posterai l'exemple dans ce fil si vous êtes intéressé. Quoi qu'il en soit, j'ai résolu le problème moi-même. Merci de votre aide.

Landon Carter

@yedaynara et Stijn: Un (l'exemple?) classique est dû à Heyde: Considérez les pdfs

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$ où

f_{0}

$f_0$ est le pdf du lognormal standard et

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$ . Tous les membres de cette famille de distributions ont les mêmes moments (de toutes les commandes). Notez que le lognormal standard est un membre de cette famille et ses moments ont une belle forme fermée.

Cardinal

Il existe toutefois des conditions supplémentaires (par exemple, Carleman) sur les moments qui garantiront l'unicité de la distribution. Ceci est connu comme le problème du moment Hamburger .

cardinal

Citation de web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/… "... C'est une algèbre linéaire élémentaire pour vérifier qu'une mesure positive avec un support fini est uniquement déterminée par ses moments ..." Cela règle la Condition de Carleman pour la détermination M des distributions bêta dans le PO. @cardinal et yedaynara ont tous deux raison de dire que j'ai été trop rapide pour assumer cela. Mais apparemment, le soutien limité est ce qui sauve la situation.

StijnDeVuyst