Si deux variables aléatoires et sont pas corrélées, peut-on également savoir que et non corrélées? Mon hypothèse est oui.YX 2
E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] non corrélé signifie , ou
Est-ce que cela signifie également ce qui suit?
random-variable
independence
Vegard Stikbakke
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Réponses:
Non. Un contre-exemple:
Soit distribué uniformément sur , .[ - 1 , 1 ] Y = X 2X [ - 1 , 1 ] Oui= X2
Alors et aussi ( est une fonction impaire), donc sont pas corrélés.E [ X Y ] = E [ X 3 ] = 0 X 3 X , YE[ X] = 0 E[ XOui] = E[ X3] = 0 X3 X, Y
MaisE[ X2Oui] = E[ X4] = E[ X22] > E[ X2]2= E[ X2] E[ Oui]
La dernière inégalité découle de l'inégalité de Jensen. Il résulte également du fait que puisque n'est pas constant.XE[ X22] - E[ X2]2= Va r ( X) > 0 X
Le problème avec votre raisonnement est que peut dépendre de et vice versa, donc votre avant-dernière égalité n'est pas valide. yFX y
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Même si , non seulement il est possible que et soient corrélés, mais ils peuvent même être parfaitement corrélés, avec :X 2 Y Corr ( X 2 , Y ) = 1Corr( X, Y) = 0 X2 Oui Corr( X2, Y) = 1
Ou :Corr( X2, Y) = - 1
Si vous ne pouvez pas lire le code R , le premier exemple équivaut à considérer deux variables aléatoires et avec une distribution conjointe telle que est également susceptible d'être , ouY ( X , Y ) ( - 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 1 ) ( X , Y ) ( - 1 , - 1 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , - 1 )X Oui ( X, Y) ( - 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 1 ) . Dans l'exemple parfaitement corrélé négativement, est également susceptible d'être , ou .( X, Y) ( - 1 , - 1 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , - 1 )
Néanmoins, nous pouvons également construire etY Corr ( X 2 , Y ) = 0X Oui telle sorte que , donc tous les extrêmes sont possibles:Corr( X2, Y) = 0
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L'erreur dans votre raisonnement est que vous écrivez ce qui suit à propos de : E [ h ( X , Y ) ] = ∫ h ( x , y ) f X ( x ) f Y ( y ) d x d yE[h(X,Y)]
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