Extrait de Grimmet et Stirzaker :
Montrer qu'il ne peut pas être le cas où où est uniformément distribué sur [0,1] et et sont indépendants et identiques. Vous ne devez pas supposer que X et Y sont des variables continues.
Une simple preuve de contradiction suffit pour le cas où , sont supposés discrets en arguant qu'il est toujours possible de trouver un et tels que tandis que .
Cependant cette preuve ne s'étend pas à étant absolument continu ou singulier continu. Conseils / Commentaires / Critique?
Réponses:
Le résultat peut être prouvé par une image: les zones grises visibles montrent qu'une distribution uniforme ne peut pas être décomposée comme une somme de deux variables indépendantes identiquement distribuées.
Notation
SoitX et Y iid tels que X+Y ait une distribution uniforme sur [0,1] . Cela signifie que pour tout 0≤a≤b≤1 ,
Le support essentiel de la distribution commune desX et Y est donc [0,1/2] (car autrement il y aurait une probabilité positive que X+Y se situe en dehors de [0,1] ).
L'image
Laissez0<ϵ<1/4 . Contemplez ce diagramme montrant comment les sommes des variables aléatoires sont calculées:
La distribution de probabilité sous-jacente est celle conjointe pour . La probabilité de tout événement a < X + Y ≤ b est donnée par la probabilité totale couverte par la bande diagonale s'étendant entre les lignes x + y = a et x + y = b . Trois de ces bandes sont représentées: de 0 à ϵ , apparaissant comme un petit triangle bleu en bas à gauche; à partir de 1 / deux - ε de 1 / deux(X,Y) a<X+Y≤b x+y=a x+y=b 0 ϵ 1/2−ϵ , représenté par un rectangle gris coiffé de deux triangles (jaune et vert); et de 1 - ϵ à 1 , apparaissant comme un petit triangle rouge en haut à droite.1/2+ϵ 1−ϵ 1
Ce que l'image montre
En comparant le triangle inférieur gauche de la figure au carré inférieur gauche qui le contient et en exploitant l'hypothèse iid pour et Y , il est clair queX Y
Notez que l'inégalité est stricte: l'égalité n'est pas possible car il existe une probabilité positive que et Y soient inférieurs à ϵ mais néanmoins X + Y > ϵ .X Y ϵ X+Y>ϵ
De même, en comparant le triangle rouge au carré dans le coin supérieur droit,
Enfin, la comparaison des deux triangles opposés en haut à gauche et en bas à droite avec la bande diagonale les contenant donne une autre inégalité stricte,
Les premiers ensuit d'inégalité des deux précédents (prennent leurs racines carrées et les multiplier) tandis que le second décrit le (strict) l' inclusion des triangles dans la bande et la dernière égalité exprime l'uniformité de . La conclusion que 2 ϵ < 2 ϵ est la contradiction prouvant que de tels X et Y ne peuvent pas exister, QED .X+Y 2ϵ<2ϵ X Y
la source
J'ai essayé de trouver une preuve sans considérer les fonctions caractéristiques. Un excès de kurtosis fait l'affaire. Voici la réponse sur deux lignes: puisque X et Y sont iid. Alors Kurt ( U ) = - 1.2 implique Kurt ( X ) = - 2.4 qui est une contradiction comme Kurt ( X )Kurt(U)=Kurt(X+Y)=Kurt(X)/2 X Y Kurt(U)=−1.2 Kurt(X)=−2.4 pour toute variable aléatoire.Kurt(X)≥−2
La ligne de raisonnement qui m'a amené à ce point est plus intéressante. (et Y ) doit être borné entre 0 et 0,5 - c'est évident, mais cela signifie que ses moments et ses moments centraux existent. Commençons par considérer la moyenne et la variance: E ( U ) = 0,5 et Var ( U ) = 1X Y E(U)=0.5 . SiXetYsont distribués de manière identique, nous avons:Var(U)=112 X Y
Donc . Pour la variance, nous devons également utiliser l'indépendance pour appliquer:E(X)=0.25
D'où etσX=1Var(X)=124 . Hou la la! C'est beaucoup de variation pour une variable aléatoire dont le support va de 0 à 0,5. Mais nous aurions dû nous en douter, puisque l'écart-type ne va pas évoluer de la même manière que la moyenne.σX=126√≈0.204
Maintenant, quel est le plus grand écart-type qu'une variable aléatoire peut avoir si la plus petite valeur qu'elle peut prendre est 0, la plus grande valeur qu'elle peut prendre est 0,5 et la moyenne est 0,25? La collecte de toute la probabilité à deux masses ponctuelles sur les extrêmes, à 0,25 de la moyenne, donnerait clairement un écart-type de 0,25. Notre est donc grand mais pas impossible. (J'espérais montrer que cela impliquait trop de probabilité dans les queues pour que X + Y soit uniforme, mais je ne pouvais aller nulle part avec ça au dos d'une enveloppe.)σX X+Y
Les considérations du deuxième moment imposent presque une contrainte impossible à alors considérons les moments supérieurs. Qu'en est-il du coefficient d'inclinaison du moment de Pearson , γ 1 = E ( X - μ X ) 3X ? Cela existe puisque les moments centraux existent etσX≠0. Il est utile de connaître certaines propriétés des cumulants, en particulier l'application d'une indépendance puis d'une distribution identique donne:γ1=E(X−μX)3σ3X=κ3κ3/22 σX≠0
This additivity property is precisely the generalisation of how we dealt with the mean and variance above - indeed, the first and second cumulants are justκ1=μ and κ2=σ2 .
Thenκ3(U)=2κ3(X) and (κ2(U))3/2=(2κ2(X))3/2=23/2(κ2(X))3/2 . The fraction for γ1 cancels to yield Skew(U)=Skew(X+Y)=Skew(X)/2–√ . Since the uniform distribution has zero skewness, so does X , but I can't see how a contradiction arises from this restriction.
So instead, let's try the excess kurtosis,γ2=κ4κ22=E(X−μX)4σ4X−3 . By a similar argument (this question is self-study, so try it!), we can show this exists and obeys:
The uniform distribution has excess kurtosis−1.2 so we require X to have excess kurtosis −2.4 . But the smallest possible excess kurtosis is −2 , which is achieved by the Binomial(1,12) Bernoulli distribution.
la source