Estimer le nombre de balles en sélectionnant successivement une balle et en la marquant

Disons que j'ai N balles dans un sac. Lors de mon premier tirage, je marque la balle et la replace dans le sac. Lors de mon deuxième tirage, si je prends une balle marquée, je la remets dans le sac. Cependant, si je prends une balle non marquée, je la marque et la remets dans le sac. Je continue cela pour n'importe quel nombre de tirages. Quel est le nombre prévu de balles dans le sac compte tenu du nombre de tirages et de l'historique des tirages marqués / non marqués?

$\mathcal{I}$$N$$\mathcal{I}$$M$$k$$M$$E(N|k)$$M,k$

Selon la règle de Bayes, nous avons

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

$P(k|N=j)$$P(k|N=j)$$k$$M$$j$

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

où désigne un nombre stirling du deuxième type . On peut alors calculer$S$

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

Voici quelques calculs pour divers et . Dans chaque cas, nous utilisons un a priori uniforme sur$k$$M$$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$