Je cherche des inégalités de probabilité pour les sommes de variables aléatoires non bornées. J'apprécierais vraiment si quelqu'un pouvait me donner des idées.
Mon problème est de trouver une limite supérieure exponentielle sur la probabilité que la somme des variables aléatoires iid non bornées, qui sont en fait la multiplication de deux iid gaussiens, dépasse une certaine valeur, à savoir , où , et sont générés de iid à partir de .
J'ai essayé d'utiliser la borne de Chernoff en utilisant la fonction de génération de moment (MGF), la liaison dérivée est donnée par:
où est le MGF de X . Mais le lien n'est pas si serré. Le problème principal de mon problème est que les variables aléatoires sont illimitées et, malheureusement, je ne peux pas utiliser la limite de l'inégalité de Hoeffding.
Je serai heureux si vous m'aidez à trouver une limite exponentielle étroite.
Réponses:
En utilisant la borne de Chernoff que vous avez suggérée pour certainss≤1/(2σ2) qui seront spécifiés ultérieurement,
Une autre possibilité consiste à appliquer directement des inégalités de concentration telles que l'inégalité de Hanson-Wright ou des inégalités de concentration pour un chaos gaussien d'ordre 2 qui englobe la variable aléatoire qui vous intéresse.
Approche plus simple sans utiliser la fonction de génération de moment
Prenonsσ=1 pour plus de simplicité (sinon, on peut redimensionner en divisant par σ2 ).
Écrirev=(v1,...,vn)T et w=(w1,...,wn)T . Vous demandez des limites supérieures sur P(vTw>ϵN) .
SoitZ=wTv/∥v∥ . Ensuite , Z∼N(0,1) par l' indépendance de v,w
et ∥v∥2 est indépendante de Z avec le χ2 distribution avec n degrés de liberté.
Par limites standard sur la norme normale etχ2 variables aléatoires,
P(|Z|>ϵn/2−−−√)≤2exp(−ϵ2n/4),P(∥v∥>2n−−√)≤exp(−n(2–√−1)2/2).
La combinaison avec le syndicat lié donne une limite supérieure deP(vTw>ϵN)
de la forme2exp(−ϵ2n/4)+exp(−n(2–√−1)2/2) .
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The bound you obtain is of ordere−ϵ as ϵ→∞ . I don't think you can do much better for general ϵ . From the Wikipedia page on Product Variables the distribution of wivi is K0(z)/π where K0 is a modified Bessel function. From (10.25.3) in the DLMF function list, K0(t)∼e−t/t√ x P(wivi>x)∼∫∞xe−t/t√dt which is not going to give you a sub-Gaussian bound.
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