L'inverse-CTFT existe-t-il pour un delta dirac?

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La transformée de Fourier à temps continu inverse existe-t-elle pour un delta de Dirac (Un seul pic causal / non causal)?

continuous-signals Mikhail
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Voir les réponses à une question récente connexe sur math.SE qui vous expliquera également comment utiliser des tableaux de paires de transformées de Fourier courantes par rapport à la variable de fréquence radian radians / seconde pour obtenir des paires de transformées de Fourier par rapport à la variable de fréquence dans Hertz. Pour le cas particulier des impulsions temporelles ou fréquentielles, la clé est la propriété de tamisage :ωF
∫-∞∞X(y)δ(y-une)réy=X(une) si X(y) est continu à une.
Dilip Sarwate

Réponses:

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Oui, c'est une exponentielle complexe , à une fréquence déterminée par la "position" du delta (votre entrée étant ). Écrivez l'intégrale pour la transformée de Fourier inverse, utilisez la définition de et vous verrez qu'il "sélectionne" à cette fréquence particulière l'exponentielle complexe en cours d'intégration.e2πjeF0tF0δ(F-F0)δ

pichenettes
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Il s'agit d'une transformation très importante que l'on retrouve souvent dans un tableau de transformées de Fourier courantes comme celle-ci .
Jason R
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En remarque: la transformation de Fourier directe et inverse est essentiellement la même chose. Par exemple, un rectangle dans un domaine correspond à un sin (x) / x dans l'autre domaine (qu'il démarre en temps ou en fréquence). Il en va de même pour un delta: l'impulsion dans un domaine correspond à une exponentielle complexe dans l'autre.

Vous pouvez implémenter une FFT inverse (basée sur une FFT directe) comme suit:

  1. prendre le conjugué
  2. FFT avant
  3. reprendre le conjugué
  4. diviser par la longueur de la séquence

Dans Matlab, cela ressemblerait à ceci

n = 1024;
x0 = randn(n,1) + j*rand(n,1); % random sequence
fx = fft(x0);  % take the FFT
x1 = conj(fft(conj(fx)))/n; % inverse fft based on fw fft
% print an error metric how close we got to the orginal signal
fprintf('Error = %6.2f dB\n', 10*log10(sum( (x1-x0).* conj(x1-x0))./sum(x0.*conj(x0))));
Hilmar
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Je n'inclurais pas l'étape 4 dans votre liste ci-dessus, car ce ne sera pas nécessairement le cas. Il n'y a pas une seule notion convenue de la façon dont la mise à l'échelle est gérée dans la DFT / IDFT. Ce que vous avez indiqué fonctionne avec l'implémentation de MATLAB, mais il est possible qu'un autre n'exige pas la division parN.
Jason R
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C'est vrai. La mise à l'échelle de Matlab est probablement la plus courante (et observée dans la plupart des manuels). 1 / sqrt (N) pour le sens direct et le sens inverse serait préférable s'il garantissait la version la plus propre du théorème de Parseval, c'est-à-dire que l'énergie dans le domaine temporel est égale à l'énergie dans le domaine fréquentiel.
Hilmar