Dériver la transformée de Fourier du cosinus et du sinus

10

Dans cette réponse, Jim Clay écrit:

... utilisez le fait que ...F{cos(X)}=δ(w-1)+δ(w+1)2

L'expression ci-dessus n'est pas trop différente de .F{cos(2πF0t)}=12(δ(F-F0)+δ(F+F0))

J'ai essayé d'obtenir la dernière expression en utilisant la définition standard de la transformée de Fourier mais tout ce que je me retrouve avec est une expression si différente de ce qui est apparemment la réponse.X(F)=-+X(t)e-j2πFtt

Voici mon travail:

X(t)=cos(2πF0t)F{X(t)}=-+cos(2πF0t)e-j2πFtt=-+12(e-j2πF0t+ej2πF0t)e-j2πFtt=12-+(e-j2πF0te-j2πFt+ej2πF0te-j2πFt)t=12-+(e-j2πt(F0+F)+e-j2πt(F-F0))t=12(-+(e-j2πt(F0+F))t+-+(e-j2πt(F-F0)))t

C'est là que je suis coincé.

pyler
la source

Réponses:

16

Votre travail est OK sauf pour le problème que la transformée de Fourier de n'existe pas dans le sens habituel d'une fonction de , et nous devons étendre la notion pour inclure ce qu'on appelle des distributions, ou des impulsions, ou des deltas de Dirac, ou (comme nous, les ingénieurs ont l'habitude de le faire, au grand dégoût des mathématiciens) des fonctions delta . Lisez les conditions qui doivent être remplies pour que la transformée de Fourier du signal existe (au sens habituel) et vous verrez que n'a pas une transformée de Fourier au sens habituel.cos(2πF0t)FX(F)X(t)cos(2πF0t)

En ce qui concerne votre question spécifique, une fois que vous comprenez que les impulsions sont définies uniquement en termes de la façon dont elles se comportent comme des intégrales dans une intégrale, c'est-à-dire pour , condition que soit continu à , alors il est plus facile de déduire la transformée de Fourier de en réfléchissant au fait que et il faut donc que soit l' inverse Transformée de Fourier deune<X0<b

unebδ(X-X0)g(X)X=g(X0)
g(X)X0
cos(2πF0t)=12[ej2πF0t+e-j2πF0t]
-δ(F-F0)ej2πFtF=ej2πF0t
cos(2πF0t)12[δ(F-F0)+δ(F+F0)] .
Dilip Sarwate
la source
4

Ensuite, utilisez simplement une table de paires de transformées de Fourier pour voir que , et la substitution de variables ( et ), pour obtenir ce dont vous avez besoin.δ(t)1F1=F+F0F2=F-F0

Peter K.
la source
3
Ce qui, bien sûr, soulève la question de savoir comment la personne qui a écrit le tableau a trouvé la réponse qui se trouve dans le tableau.
Dilip Sarwate
@DilipSarwate :-) Maintenant, vous posez une question beaucoup plus difficile. :-)
Peter K.
1
Voir ma réponse pour une version de la réponse à la question beaucoup plus difficile qui pourrait se poser sur ce stackexchange sinon sur math.SE!
Dilip Sarwate
@DilipSarwate: vous avez déjà mon +1. Merci, belle réponse. D'accord, les gars de math.SE seraient consternés. C'est OK, nous sommes ingénieurs. :-)
Peter K.