Difficulté avec la méthode spectrale utilisant les polynômes de Chebyshev

J'ai un peu de difficulté à comprendre un document. Le papier utilise une méthode spectrale pour résoudre une valeur propre qui provient d'un système d'ODE couplés. Je vais écrire une seule équation maintenant, car cela suffit pour aller au cœur de ma (mes) question (s).

L'équation est

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Je réalise le dérivé et j'obtiens

(Eq1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Maintenant, selon l'article, je devrais être en mesure d'augmenter les quantités d'équilibre ) du système en tant que polynômes de Chebyshev de la forme$(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

, oùTi[y]sont les polynômes. Je sais comment obtenir lebi enutilisant le code que j'ai écrit dans Mathematica. Aussiy=2(r/R)-1, et le domaine derest(0,R).$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$$T_i[y]$$b_i$$y = 2(r/R) -1$$r$$(0,R)$

L'article indique également que les fonctions ( ) peuvent être développées comme F [ r ] = ( $V,W$, et qu'en général un terme commeB[r]F[r]peut être exprimé comme$F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$$B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

où et Θ ( k ) = 0 pour k < 0 et est égal à 1 pour k ≥ 0 .$\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$$\Theta(k) = 0$$k<0$$k\geq 0$

Cela étant dit, disons que je fais les fonctions d'équilibre suivantes

etr(ν′+λ′)=B2[r], alors Eq1 devient$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$$r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Eq2) .$\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Question 1: Que dois-je faire avec le termes? Les polynômes sont des fonctions de[y]alors comment puis-je même avoir une expansion commeB[r]=($(\frac{r}{R})^l$$[y]$fonction X de [y]? Il semble également que je puisse les diviser de chaque côté de l'équation, alors quel était le point d'introduction de ce terme? Je veux dire, selon l'article, ce terme est censé imposer la condition aux limites queV,Wvont à zéro commerva à zéro.$B[r]= (\frac{r}{R})^l$$V,W$$r$

* Question2: * Comment suis-je censé traiter le dans le terme r ∗ W ′ . L'article donne une description de la façon de gérer les termes dérivés, mais qu'en est-il du r lui-même. Suis-je censé le traiter comme une valeur d'équilibre et utiliser la règle pour des termes comme B [ r ] F [ r ] ou dois-je exprimer ce r en termes de y . Ou devrais-je faire autre chose?$r$$r*W'$$r$$B[r]F[r]$$r$$y$

Je ne suis pas sûr qu'il soit possible de répondre à la question sans une lecture détaillée du document. Mais en ce qui concerne la première question, vous avez$r/R = (y+1)/2$. Et ce facteur ne peut pas être divisé car il ne multiplie pas tous les termes.

Pour la question 2: puisque cette équation doit être utilisée pour appliquer la condition aux limites à $r=0$, Je pense que le terme que vous mentionnez devrait disparaître.