Implémentation de la méthode Jacobi-Davidson pour le problème des valeurs propres cubiques

J'ai un gros problème de valeur propre cubique:

$$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$$

Je pourrais résoudre cela en convertissant en un problème de valeur propre linéaire mais cela résulterait en un système aussi grand:$3^2$

$$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$$

où et z = λ y . Quelles autres techniques sont disponibles pour résoudre un problème de valeur propre cubique? J'ai entendu dire qu'il existe une version de Jacobi-Davidson qui le résoudra, mais je n'ai pas trouvé d'implémentation.$\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$$\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

De plus, je dois être capable de cibler des valeurs propres spécifiques de manière similaire à la méthode shift-and-invert d'ARPACK et de trouver les vecteurs propres associés.

Avec le protocole de communication inverse d'ARPACK, vous n'avez pas besoin de stocker explicitement la matrice : il vous suffit de fournir deux fonctions qui calculent:$3n \times 3n$

et [ x y z ] → [ A 1 x + A 2 y + A 3$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(vous payez toujours le prix du stockage du $3\times n$ vecteurs dimensions mais vous ne payez rien pour les matrices).

$x \mapsto M^{-1} x$$x \mapsto M x$$\lambda's$$\lambda^{-1}$$M^{-1}x$$M$$A_0$