Discrétisation spatio-temporelle par éléments finis pour les PDE dépendant du temps

Dans la littérature FEM, les méthodes semi-variationnelles sont généralement utilisées dans la solution des EDP dépendant du temps. Je n'ai pas vu d'approche entièrement variationnelle, c'est-à-dire où l'espace et le temps sont discrétisés par FEM, permettant peut-être l'utilisation de maillages spatio-temporels non structurés. Bien que les méthodes d'horodatage puissent être plus faciles à mettre en œuvre, y a-t-il une raison particulière pour laquelle le maillage spatio-temporel n'est pas viable? J'imagine qu'il faut adapter les maillages pour respecter les propriétés physiques d'un problème donné, mais je n'en suis pas certain.

La discrétisation plein espace-temps des équations aux dérivées partielles dépendantes du temps est en effet une chose. Si vous utilisez un maillage structuré dans le temps (dans le sens où la discrétisation temporelle ne dépend pas de l'espace) et un choix approprié de fonctions d'essai et de test, vous pouvez adapter plusieurs méthodes standard de pas de temps (Crank-Nicolson, Euler implicite ou certains Runge -Kutta régimes) dans un cadre Galerkin, qui donne une approche élégante pour l'analyse. Ceci est décrit, par exemple, dans le livre de Thomée Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems (Springer, 2e éd., 2006) ou dans l'article de Chrysafinos et Walkington's Error error for the discontinuous Galerkin methods for parabolic equations , (SIAM J.Numer. Anal. . 44.1, 349–366, 2006).

L'utilisation d'un maillage entièrement non structuré est moins courante, mais peut avoir un sens pour les problèmes hyperboliques où vous avez un transport d'informations le long des caractéristiques. Si vous utilisez une formulation Galerkin discontinue, chaque élément espace-temps ne se couple qu'avec l'élément voisin via des termes faciaux (vous n'avez aucune exigence de continuité globale), et vous pouvez utiliser un processus de balayage pour calculer la solution en passant d'un élément à l'autre le long des caractéristiques - une sorte de pas de temps "oblique". Bien sûr, cela est beaucoup plus difficile à implémenter, même si cela ne nécessite pas de stocker le maillage spatio-temporel complet (ce qui peut être prohibitif). D'un autre côté, vous gagnez l'avantage des maillages non structurés de permettre un raffinement local (adaptatif) et donc un pas de temps localement adaptatif.Méthodes d'éléments finis spatio-temporels pour l'élastodynamique: formulations et estimations d'erreur , Méthodes informatiques en mécanique appliquée et en génie 66 (3): 339-363, 1988 . Il existe également une thèse de doctorat de Shripat Thite sur le maillage spatio-temporel pour les méthodes de Galerkin discontinues .

Un autre contexte où j'ai vu cette idée est dans l'optimisation contrainte par PDE pour les problèmes paraboliques. Là, vous pouvez formuler les conditions d'optimalité nécessaires du premier ordre comme un système couplé d'équations avant-arrière, que vous pouvez interpréter comme la formulation mixte d'une équation elliptique du 2e ordre dans le temps, du 4e ordre dans l'espace avec initial-final (et conditions aux limites. En effectuant une discrétisation adaptative espace-temps de ce système couplé, vous pouvez avoir une approche efficace en une seule fois pour calculer la solution, voir Gong, Hinze, Zhou: Approximation par éléments finis espace-temps des problèmes de contrôle optimal parabolique , J Numer. Math. 20 (2): 111-145 (2012) .

Il existe des articles plus récents sur les méthodes spatio-temporelles. Il y en a un de Steinbach, Space-Time Finite Element et un autre de Langer et. al, analyse isogéométrique spatio-temporelle traitant tous des problèmes d'évolution parabolique. Dans les deux articles, ils décrivent de manière vivante les formulations variationnelles mais dans des contextes différents. Comme le suggèrent les titres, le premier utilise FEM et le dernier IgA. Je pense que cela donne de bonnes informations en particulier sur ce que vous recherchez.

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L'implémentation spatio-temporelle du produit tensoriel est très différente de celle non-tensorielle. Ce dernier est un peu délicat surtout pour la FEM.