Je suis en train de résoudre un système de deux PDE couplés dans deux dimensions spatiales et en temps de calcul. Étant donné que les évaluations de fonctions sont coûteuses, je voudrais utiliser une méthode en plusieurs étapes (initialisée à l'aide de Runge-Kutta 4-5).
La méthode Adams-Bashforth utilisant cinq évaluations de fonctions précédentes a une erreur globale de (c'est le cas où dans l'article Wikipedia référencé ci-dessous), et nécessite une évaluation de fonction (par PDE) par étape.
La méthode Adams-Moulton, d'autre part, nécessite deux évaluations de fonction par étape: une pour l'étape de prédiction et une autre pour l'étape de correction. Encore une fois, si cinq évaluations de fonction sont utilisées, l'erreur globale est . ( dans l'article Wikipedia)s = 4
Alors, quel est le raisonnement derrière l'utilisation d'Adams-Moulton sur Adams-Bashforth? Il a une erreur du même ordre, pour le double du nombre d'évaluations de fonctions. Intuitivement, il est logique qu'une méthode de prédiction-correction soit favorable, mais quelqu'un peut-il expliquer cela quantitativement?
Référence: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods
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Réponses:
La méthode Adams-Moulton est nettement plus stable. L'analogie utilisée lorsque j'ai appris la différence est la même que l'extrapolation et l'interpolation. L'interpolation est relativement sûre numériquement. L'extrapolation peut exploser si vous avez une asymptote ou une autre caractéristique étrange.
Par exemple, résoudre l'ode
avec y ( 0 ) = 1y′( t ) = - y( t ) y( 0 ) = 1
l'utilisation de la méthode Adams-Bashforth de troisième ordre devient en fait plus instable à mesure que le pas de temps est réduit. En ajoutant l'étape de correction, vous évitez une grande partie de cette instabilité. Un tracé des régions de stabilité pour les deux méthodes est montré ici:
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