Lorsque le contrôle optimal échoue (?)

Afin de "poser ma question", je dois d'abord résoudre un modèle. Je vais omettre certaines étapes, mais cela rendra inévitablement ce message très long - c'est donc aussi un test pour voir si cette communauté aime ce genre de questions.

Avant de commencer, je précise que cela peut ressembler totalement à un modèle de croissance néoclassique standard en temps continu, mais ce n'est pas le cas : il s'agit d'un seul individu, qui ne "représente" personne d'autre dans l'économie qui l'entoure, une économie qui n'est pas modélisé. Le cadre ici est "l'application du contrôle optimal au problème de maximisation d'un seul individu". Il s'agit du cadre et de la méthode de la solution de contrôle optimal lui-même.

Nous résolvons le problème de maximisation de l'utilité intertemporelle d'un petit homme d'affaires qui détient le capital de son entreprise, alors qu'il achète des services de main-d'œuvre sur un marché du travail parfaitement concurrentiel et qu'il vend son produit (beignets frais) sur un marché de marchandises parfaitement concurrentiel. Nous posons le modèle en temps continu sans incertitude (les conditions socio-économiques sont stables), et à horizon infini (l'homme d'affaires envisage de nombreuses futures copies de lui d'affilée):

$$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$$

où $c$ est la consommation de l'homme d'affaires, $\ln c$ est l'utilité instantanée de la consommation, $\rho>0$ est le taux de préférence temporelle pure, $k$ est le capital de l'entreprise, $\delta$ est le taux de dépréciation du capital, et $f(k,\ell)$ est la fonction de production de l'entreprise. Le niveau initial de capital est donné, $k_0$ . La propre occupation de l'homme d'affaires dans l'entreprise est incluse dans le capital. La fonction de production est néoclassique standard (rendements d'échelle constants, produits marginaux positifs, seconds partiels négatifs, conditions Inada). Les contraintes sont la loi de mouvement du capital et la condition de Transversalité utilisant le multiplicateur de la valeur courante.

Configuration de la valeur actuelle hamiltonienne

$$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$$

nous calculons les conditions de premier ordre

$$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$$

et en les combinant on obtient la loi d'évolution de la consommation de notre homme d'affaires,

$$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$$

À partir de la règle optimale pour la demande de main-d'œuvre (statique) et des rendements d'échelle constants ( ), nous obtenons . En insérant cela dans la loi de mouvement du capital, nous obtenonsf = f k k + f ℓ ℓ f - w ℓ = f k$\ell: f_{\ell} =w$$f = f_kk + f_{\ell}\ell$$f-w\ell = f_kk$

$$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$$

Les équations et forment un système d'équations différentielles. Les valeurs à l'état stationnaire de la consommation et du capital de l'homme d'affaires sont( 2 $(1)$$(2)$

$$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$$

$$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$$

... qui est une expression assez familière.

$k^*$ est parfois appelé le niveau de "règle d'or modifiée" du capital. Le jacobien du système évalué aux valeurs d'état stationnaire a un déterminant négatif pour toute valeur des paramètres du modèle , ce qui est une condition nécessaire et suffisante pour que le système présente une stabilité sur le trajet de la selle.

Le maximum du locus est au point, (parfois appelé niveau de capital "règle d'or") ˜ $\dot k =0$$\tilde k$

$$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$$

La valeur est importante comme référence: c'est le niveau de capital où et est au maximum (pas optimal ou stable ).˙ k =0$\tilde k$$\dot k =0$$c$

Le loci coupe l'axe horizontal du diagramme de phase (qui mesure le capital) au niveau du capital en régime permanent .k$\dot c=0$$k^*$

Si , qui nécessite raison de seconds partiels négatifs, nous aurons une "suraccumulation de capital" (trop de beignets): l'homme d'affaires pourrait profiter de plus de stabilité - la consommation de l'État avec un niveau de capital inférieur. En utilisant et nous avons f ∗ k < f k ( ˜ k ) ( 3 ) ( 4 $k^* > \tilde k$$f_k^* < f_k(\tilde k)$$(3)$$(4)$

$$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$$

$$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$$

L'inégalité est la condition pour un niveau de capital en régime permanent sous-optimal. Et le fait est que nous ne pouvons pas l'exclure . Cela exige simplement que l'homme d'affaires soit "suffisamment patient", avec un taux de préférence temporelle pur suffisamment faible, mais toujours positif.$(5)$

Ici commence le problème: la suraccumulation de capital est effectivement exclue dans le modèle de l'agent représentatif. Il est possible dans des modèles de génération qui se chevauchent, mais comme conséquence involontaire au niveau macroéconomique, l'un des premiers exemples que la macro-économie peut être micro-fondée et se comporter toujours différemment du micro-monde.

Mais notre modèle ne rentre dans aucune catégorie: il s'agit d'un modèle d'équilibre partiel d'un seul agent dans un environnement implicitement hétérogène - et l'équilibre général ici ne modifiera pas les résultats: cette personne ne représente que lui-même. Donc, le problème est que si tient, alors la solution de contrôle optimal sera évidemment sous-optimale , car ici nous avons une seule personne, une seule volonté, un seul esprit: en regardant la solution, notre homme d'affaires dira: " hé, cette méthode ne vaut rien, si je suis son conseil, je me retrouverai avec un niveau de capital sous-optimal ". $(5)$

Et je ne suis pas satisfait de dire simplement "eh bien, le contrôle optimal ne convient pas à ce problème, essayez une autre méthode", car je ne vois pas pourquoi nous devrions le considérer comme inapproprié. Mais si elle est appropriée, alors la méthode devrait signaler que quelque chose ne va pas, elle devrait à un moment donné exiger que ne tienne pas , afin de pouvoir offrir une solution (si cela se produit que ne maintenez, tout semble gonfler).$(5)$$(5)$

On pourrait se demander "peut-être que la condition de la transversalité est violée si tient?" -mais il ne semble pas que ce soit le cas, car , qui va vers une constante positive, tandis que va vers zéro, ne nécessitant que .λ ( t ) k ( t ) = k ( t ) / c ( t ) e - ρ t ρ > $(5)$$\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$$e^{-\rho t}$$\rho>0$

Mes questions:

1) Quelqu'un peut-il donner un aperçu ici?

2) Je serais reconnaissant si quelqu'un résolvait cela en utilisant la programmation dynamique et rapportait les résultats.

ADDENDA
D'un point de vue mathématique, la différence cruciale de ce modèle est que la loi optimisée de mouvement du capital, éq. n'inclut pas la totalité de la sortie comme dans le modèle standard, mais uniquement les rendements du capital . Et cela se produit parce que nous avons séparé les droits de propriété sur la sortie, ce qui est normal dans le cadre du "problème de maximisation de l'entreprise individuelle".f ( k ) f k$(2)$$f(k)$$f_kk$

Je crois que le problème est que l'état stationnaire peut ne pas exister et que le système présente une croissance régulière (en fonction des paramètres).

La raison en est que le modèle est équivalent au problème standard d'économie de consommation avec un taux d'intérêt exogène et constant. Pour voir cela, considérons d'abord la condition de premier ordre pour le choix du travail (ici, est une dérivée partielle de wrt. ème argument). En utilisant la définition des rendements constants, le produit marginal du travail est qui est uniquement fonction du rapport capital-travail. Si le salaire est constant, le FOC du travail détermine uniquement le optimalf i f i $f_2(k,\ell) = w$$f_i$$f$$i$

$$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$ratio en fonction du salaire et d'autres paramètres. Puisque le produit marginal du capital dépend également de , il sera constant le long du chemin optimal. Notons cette valeur du produit marginal , et notons le rendement net de la dépréciation . Les équations (1) - (2) pour la dynamique du capital et de la consommation sont alors et la solution spécifique qui satisfait la condition de transversalité doit être$w$ $$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$$r^*$$r = r^* - \delta$ $$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$$ $c_t = \rho k_t$avec donné, c'est-à-dire qu'une part constante de la richesse est consommée à chaque instant. Tant le capital que la consommation croissent à un rythme , il n'y a donc pas d'état stationnaire à moins que le rendement du capital (qui dépend ici du taux de salaire exogène ) soit égal au taux de préférence temporelle.$k_0$$(r-\rho)$$w$

Je poste cela comme une réponse, car cela continue sur la réponse de l'utilisateur @ivansml ... qui est celle qui a identifié la capture ici, une capture que j'ai naïvement négligée (bien que ce soit un cas étroit, tandis que le par intéressant vient après. Néanmoins, il aurait dû être traité).

En effet, avec un taux de salaire exogène, et une optimisation parfaitement compétitive de la demande de travail, le produit marginal du capital n'est déterminé que par les paramètres du modèle et par le taux de salaire. Pour le cas simple où nous supposons que le taux de salaire est constant, l'analyse de @ivansml est vraie: le modèle devient un modèle de croissance endogène : le produit marginal du capital est constant, ce qui est nécessaire pour une croissance endogène, où il n'y a pas de stabilité état en niveaux .

En notant c = ˙ c / c et k = ˙ k / k , les équations ( 1 ) et ( 2 ) de l'OP peut être écrit$\hat c = \dot c/c$$\hat k = \dot k /k$$(1)$$(2)$

k =fk-δ-c/

$$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$$ $$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$$

Puisque est constant, le taux de croissance de la consommation est constant - zéro, positif ou négatif, selon les paramètres et le salaire. Par contre différenciant ( 2 b ) par rapport au temps on obtient$f_k$$(2b)$

$$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$$

et il est évident que la croissance à l'équilibre que nous voulons k = c , qui, à partir de ( 2 b ) est obtenu que si c = ρ k . Il est facile de vérifier que, puisque λ ( t ) = c ( t ) , la seule condition que la condition de transversalité tiendra, est si la consommation et le capital croissent ou diminuent au même rythme (ou restent constants).$\hat k = \hat c$$(2b)$$c = \rho k$$\lambda(t) = c(t)$

Dans les modèles de croissance endogène proprement dits où nous examinons l'ensemble de l'économie, nous supposons simplement que les paramètres du modèle sont tels qu'il existe un taux de croissance positif, car c'est ce que nous observons dans le monde réel. Mais ici, nous n'avons qu'un seul individu. Alors, que pouvons-nous dire à notre homme d'affaires?

Si , le taux de croissance est positif, et sa consommation et son capital devraient croître «pour toujours», en maintenant un ratio constant. Si f k - δ - ρ = 0 , le taux de croissance est nul et les deux variables restent à jamais constantes. Si f k - δ - ρ < 0 , le taux de croissance est négatif et nous devrions entrer dans une spirale descendante de consommation et de capital décroissants (en maintenant toujours la relation c = ρ k ).$f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$$c= \rho k$

Ceci, a une certaine intuition, validant la pertinence de l'application du contrôle optimal: étant donné les autres paramètres et le taux de salaire, plus «l'impatience» (plus le est) est grande, plus il est possible que l'individu connaisse des niveaux de consommation décroissants, car le l'avenir, et donc l'investissement, ne lui plaisent pas beaucoup. Bien sûr, une spirale descendante monotone peut ne pas sembler très réaliste comme solution - mais il s'agit d'un modèle très stylisé, fournissant des tendances essentiellement générales dans un langage mathématique nécessairement très formel. $\rho$

La partie vraiment intéressante commencera si nous considérons un salaire variable . Cela peut créer toutes sortes de dynamiques intéressantes et compliquées pour notre petit homme d'affaires et ses décisions de consommation-investissement.

$w$$w$$k$$k$