Comment calculer le diamètre d'un plateau à partir du nombre de dents?

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Connaître simplement le nombre de dents sur un plateau peut-on déterminer un diamètre précis?

Oreilles de chien
la source
Il y a essentiellement 3 cercles de différents diamètres (bouts de dents, base ou où la chaîne se trouve réellement) - lequel voulez-vous? Pour quoi avez-vous besoin du diamètre?
freiheit
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de belles réponses ici, mais le diamètre n'est-il pas le double du rayon d'un cercle?
jackJoe
@jackJoe oui, mais ce n'est pas utile car vous ne connaissez pas non plus le rayon.
freiheit
@JackJoe: Oui. Mais nous n'avons pas d'informations en plus du nombre de dents, selon l'OP.
zenbike
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Dog Ears: Veuillez regarder la question sur Math.Stackexchange.com. Il s'agit d'un examen beaucoup plus complexe et approfondi de la question. Quant à cette page, je vous suggère de choisir la réponse de @Lantius. Le mien est bon et pratique dans la plupart des cas. Il entrera dans le champ d'erreur des outils de mesure courants. Ce n'est pas parfaitement exact, et la réponse de Lantius en vaut la peine.
zenbike

Réponses:

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Un plateau est un polygone régulier à n côtés où n est le nombre de dents. La longueur latérale s du polygone est la distance de bout en bout de chaque dent de plateau.

La formule pour le rayon d'un polygone régulier est:


(source: mathopenref.com )

En utilisant le zenbike de 12,75 mm ci-dessus pour s , nous obtenons 107,61 pour le rayon, ou 215,22 mm pour le diamètre, ce qui est très proche de son approximation.

La comparaison des deux formules montre que le terme de longueur, comme prévu, peut être éliminé. Cela nous laisse avec:

1 / sin ( pi / n ) vs n / pi

Pour les grands n , ces termes convergent, introduisant une erreur de seulement 0,12 mm lorsque n = 53. Il est un peu plus grand à mesure que n diminue, différant de 0,64 mm pour n = 11.

À toutes fins pratiques, j'utiliserais simplement s * n / pi , même pour le plus petit engrenage que vous rencontrerez, ce sera dans un millimètre.

lantius
la source
Je m'intéresse aux mathématiques ici. Pouvez-vous préciser (pour ceux d'entre nous qui ont moins de temps dans une classe de mathématiques) ce que chaque variable représente? Je pense que je vous suis, mais je ne suis pas certain. La formule s * n / pi est la même que ce que je fais, n'est-ce pas? D'où vient l'inexactitude pour un plus petit nombre de côtés? (En supposant que je vous suis et que j'ai les bonnes variables.)
zenbike
Est-ce la ligne droite entre les dents plutôt qu'un arc décrit?
zenbike
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C'est une ligne droite. Par exemple, si vous aviez un plateau incroyablement minuscule avec huit dents (sommets), vous pourriez tracer un octogone d'aspect propre autour de lui. Comme vous l'avez supposé, mesurer la distance en ligne droite le long des bords de cet octogone et multiplier manque le bit de distance supplémentaire qu'un arc tracerait entre ces points, de sorte que votre circonférence totale ressort juste un peu courte. Au fur et à mesure que vos points se rapprochent, la différence diminue - un polygone avec un million de petits côtés sera presque impossible à distinguer d'un cercle.
lantius
Voilà ce qui figurait. Merci pour la clarification. Alors, comment vous adaptez-vous à l'arc manquant dans la mesure?
zenbike
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Les mêmes mathématiques dans un format légèrement plus facile à digérer sont la fonction crd (thêta) en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry) - elle relie la longueur de l'accord (le pas de la chaîne dans ce cas) au rayon et au angle. Adapté ici, 12,7 mm = r crd (360 / n) = 2 * r * sin (180 / n); donc r = 6,35 / sin (180 / n) mm. Nous avons besoin de TeX ici.
Ehryk
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Si vous ne connaissez que le pas de la chaîne (standard pour la plupart des vélos) et le nombre de dents, vous pouvez décrire entièrement le cercle (et le n-gon) à travers les centres des broches uniquement . Je ferai de mon mieux pour faire les formules mathématiques d'une manière lisible avec du texte, mais je décrirai complètement chacun des quatre cercles / n-gons:

Cercles de plateau

Laisser:

n = nombre de dents

L = pas de chaîne (longueur du maillon) (12,7 mm pour la plupart des vélos)

Voir ci-dessous pour les mesures de vallée, de sommet de rouleau et de sommet de dent. Notez que sommets des dents peuvent varier entre les fabricants et vont varier tout au long de la vie de l'anneau. La méthode alternative en bas est probablement la méthode la plus simple à utiliser pour le dégagement du cadre.

Puisque vous connaissez le pas de la chaîne (1/2 "ou 12,7 mm est une chaîne de la série 40 généralement utilisée sur un vélo), les axes de chaîne formeront un n-gon régulier (un polygone avec n-côtés de longueur égale) , chaque côté étant égal à 12,7 mm. La formule pour le périmètre de ce n-gon est assez simple (ci-dessous) et conviendrait pour la plupart des approximations. Notez que cela est également égal à la longueur de chaîne qui serait enroulée autour du anneau (la chaîne suivrait le n-gon, pas le cercle).

Périmètre de n-gon fait par des centres de broches

Périmètre de n-gon = L * n = 12,7 * n mm

Cependant, ce n'est pas entièrement exact pour décrire le cercle à travers les centres des broches. Les formules les plus précises sont ci-dessous:

Entourez les centres des broches

circonférence = pi * L / (sin (180 / n)) = 39.8982 / (sin (180 / n)) mm

rayon = L / (2 sin (180 / n)) = 6,35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (rayon central de la broche)

diamètre = L / sin (180 / n) = 12,7 / sin (180 / n) mm = 'pcD' (diamètre central de la broche)

Maintenant, nous aurons besoin d'informations supplémentaires pour décrire les deux cercles / n-gons liés:

Pour les fonds de vallées et les sommets de rouleaux, nous devons connaître le rayon ou le diamètre du rouleau de chaîne autour de l'axe. Selon http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain , une chaîne de la série 40 a un diamètre de rouleau de 0,312 "(7,92 mm). Étant donné que la distance entre l'axe central et le fond de la vallée est le rayon de le rouleau:

Cercle / n-gon sur les fonds de vallée

rRad = rayon du rouleau (3,96 mm pour la plupart des vélos)

Périmètre de n-gon des fonds de vallée = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sin (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

floorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7,92 mm

Cercle / n-gon des sommets des rouleaux de chaîne

Périmètre de n-gon des sommets à rouleaux = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * sin (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7,92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7,92) mm

Maintenant, pour décrire le cercle / n-gon final, nous avons besoin de la hauteur des dents au-dessus des centres des broches. Je m'attendrais à ce que ce soit positif sur un nouvel anneau de chaîne et négatif sur un usé:

Cercle / n-gon des pointes des dents

t = hauteur de la pointe de la dent au-dessus du centre des broches (négatif si en dessous)

Périmètre de n-gon des extrémités des dents = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Alternativement, pour rendre ce calcul un peu plus facile (mais légèrement moins précis sur un anneau de chaîne usé), vous pouvez mesurer votre propre espacement des dents. Idéalement, ils seraient légèrement plus longs que le pas de la chaîne, mais cela changera à mesure que la chaîne s'use:

Cercle / n-gon des pointes des dents - Alternatif

tSpacing = distance moyenne entre les pointes des dents

Périmètre de n-gon des extrémités des dents = n * t

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

Ehryk
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Une petite correction aux formules d'Ehryk liées aux fonds de vallée et aux astuces. Selon [1], une chaîne de la série 40 a un diamètre de rouleau de 7,77 mm (0,306 pouces). Ehryk's est destiné à une chaîne de la série 41. [1]: en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain
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ÉDITER:

J'ai posté cette question sur math.se , et j'ai obtenu une réponse intéressante , qui confirme essentiellement la réponse de Lantius comme le modèle mathématique le plus précis, et la mienne comme une approximation pratique pour le monde du vélo.


Avec seulement le nombre de dents, non.

Mais étant donné le nombre de dents et l'espacement requis d'un bout à l'autre de chaque dent pour correspondre à la chaîne pour la marque de bague utilisée, vous pouvez facilement déterminer la circonférence.

Avec la circonférence, il est simple de déterminer le diamètre.

Divisez le diamètre par Pi (3,14159 à la 5e décimale)

C = D / 3,14159

Donc, si le nombre de dents est de 53 et que l'espacement est de 12,75 mm, nous avons une circonférence de 675,75 millimètres.

675,75 millimètres divisé par 3,14159 donne un diamètre de 215,1 millimètres. Converti et arrondi à 2 places, il mesure 8,46 pouces.

J'ai mesuré le diamètre d'un anneau de chaîne Shimano de 53 dents, et il est de 8,51 pouces. Je pense donc que mes calculs doivent être aussi précis que les tolérances dans mes mesures.

Diagramme de formule et méthode

zenbike
la source
Bien sûr, avec un plateau, vous vous demandez ce qu'est "le diamètre" - comment le mesurez-vous? Lorsqu'il est calculé à partir de la formule ci-dessus, vous devez obtenir le diamètre du cercle de chaîne - essentiellement le cercle décrit par les broches de chaîne - et non le diamètre le plus intérieur ou le plus extérieur.
Daniel R Hicks
En fait, ce nombre est basé sur la mesure avec un pied à coulisse d'un bout de dent à l'autre. C'est la circonférence décrite par un cercle placé pour toucher le bout de chaque dent. Et j'ai supposé un diamètre extérieur, car c'est ce qui importerait pour la construction de cadres.
zenbike
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Et j'espère que ce n'est pas elliptique :-)
Karl
Oui, maintenant que j'y pense, une chaîne devrait être légèrement lâche sur un plateau - une façon de vérifier (grossièrement) l'étirement de la chaîne est de tirer sur le maillon le plus en avant et de voir combien il donne - devrait être à peu près une demi-épaisseur de chaîne. Mais vous ne calculeriez pas (du moins en théorie) le diamètre extérieur avec votre formule.
Daniel R Hicks
@Daniel R Hicks: Comment ça? En fait, cela fonctionne, comme j'ai fait le calcul, et je l'ai vérifié par rapport à un anneau de chaîne physique, et cela correspond. Suis-je pas assez bien décrire le processus, peut-être?
zenbike