MLE du paramètre de localisation dans une distribution de Cauchy

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Après centrage, les deux mesures x et −x peuvent être supposées être des observations indépendantes d'une distribution de Cauchy avec fonction de densité de probabilité:

f(x:θ)= 1π(1+(xθ)2) ,<x<

Montrer que si le MLE de θ est 0, mais si x 2 > 1x21θx2>1 il y a deux MLE de , égaux à ± θx21

Je pense que pour trouver le MLE, je dois différencier la probabilité de journal:

=2(xi-dldθ = =2(-x-2(xiθ)1+(xiθ)2 = +2(x-2(xθ)1+(xθ)22(xθ)1+(xθ)2 =0

Donc,

=2(x+θ2(xθ)1+(xθ)2 = 2(x+θ)1+(xθ)2

que j'ai ensuite simplifié

5x2=3θ2+2θx+3

Maintenant, j'ai heurté un mur. Je me suis probablement trompé à un moment donné, mais de toute façon, je ne sais pas comment répondre à la question. Quelqu'un peut-il aider?

user123965
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Veuillez expliquer pourquoi vous avez divisé x en -x et + x? C'est mes devoirs et je suis coincé à cette étape. Je suppose que vous y avez appliqué la méthode Raphson de Newton. Mais je ne sais pas comment l'appliquer. Pourriez-vous me le dire?
user89929

Réponses:

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Il y a une faute de frappe dans vos calculs. La condition de premier ordre pour un maximum est:

Lθ=02(x+θ)1+(x+θ)22(xθ)1+(xθ)2=0(x+θ)+(x+θ)(xθ)2(xθ)(xθ)(x+θ)2=02θ+(x+θ)(xθ)[xθ(x+θ]=02θ2θ(x+θ)(xθ)=02θ2θ(x2θ2)=02θ(1x2+θ2)=02θ(θ2+(1x2))=0

If x21 then the term in the parenthesis cannot be zero (for real solutions of course), so you are left only with the solution θ^=0.

If x2>1 you have 2θ[θ2(x21)]=0 so, apart from the candidate point θ=0 you also get

Lθ=0,forθ^=±x21

You also have to justify why in this case θ^=0 is no longer an MLE.

ADDENDUM

For x=±0.5 the graph of the log-likelihood is enter image description here

while for x=±1.5 the graph of the log-likelihood is, enter image description here

Now all you have to do is to prove it algebraically and then wonder "fine -now which of the two should I choose?"

Alecos Papadopoulos
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Thanks! I can't see why θ=0 would no longer be an MLE though
user123965
Work the 2nd order condition for a maximum, or evaluate the likelihood at the candidate solutions
Alecos Papadopoulos
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+1 great answer. Also, this might be interesting: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…
random_user
@random_user Thanks! - I took the liberty to incorporate the plot in the answer.
Alecos Papadopoulos
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2nd derivative positive so indeed a local minimum
Alecos Papadopoulos