Échantillonnage de Gibbs pour le modèle d'Ising

Question de devoirs:

Prenons le modèle d'Ising 1-d.

Soit . vaut -1 ou +1$x = (x_1,...x_d)$$x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Concevez un algorithme d'échantillonnage gibbs pour générer des échantillons approximativement à partir de la distribution cible $\pi(x)$ .

Ma tentative:

Choisissez au hasard des valeurs (-1 ou 1) pour remplir le vecteur $x = (x_1,...x_{40})$ . Alors peut-être $x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$ . C'est donc $x^0$ .

Alors maintenant, nous devons continuer et faire la première itération. Nous devons dessiner séparément les 40 x différents pour $x^1$ . Donc...

Dessinez $x_1^1$ partir de $\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

Dessinez $x_2^1$ partir de $\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

Dessinez $x_3^1$ partir de $\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

Etc..

Donc, la partie qui me fait trébucher est de savoir comment puiser dans la distribution conditionnelle. Comment $\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$ entre en jeu? Peut-être qu'un exemple d'un tirage au sort clarifierait les choses.

Regardez d'abord ce cas. Suppression de termes qui ne dépendent pas de , nous l'avons. $x_1$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

Généralisez-le à (prenez note des différences; voir le commentaire d'Ilmari ci-dessous).$x_2,\dots,x_{40}$

Pouvez-vous utiliser les résultats analytiques d'Ising pour vérifier votre simulation?