Soit
Je dois montrer que même si cela a des moments infinis,
J'ai essayé de le montrer en utilisant le théorème de continuité de Levy, c'est-à-dire que j'ai essayé de montrer que la fonction caractéristique du côté gauche converge vers la fonction caractéristique de la normale standard. Cependant, cela semblait impossible à montrer.
Un conseil fourni pour ce problème était de tronquer chaque , c'est-à-dire de laisser et d'utiliser la condition de Lindeberg pour montrer que .
Cependant, je n'ai pas pu démontrer que la condition de Lyapunov est remplie. C'est principalement parce que ne se comporte pas comme je le souhaiterais. Je voudrais que ne prenne que les valeurs -1 et 1, cependant, de la façon dont il est construit, il peut prendre les valeurs
Réponses:
Voici une réponse basée sur le commentaire de @ cardinal:
Soit l'espace échantillon celui des chemins des processus stochastiques et , où nous laissons . La condition de Lindeberg (conforme à la notation de Wikipedia ) est satisfaite, pour: pour tout as chaque fois que(Xi)∞i=0 (Yi)∞i=0 Yi=Xi1{Xi≤1}
Nous avons aussi que par Borel-Cantelli puisque sorte que . , et ne diffèrent que très souvent et presque sûrement.P(Xi≠Yi,i.o.)=0 P(Xi≠Yi)=2−i ∑∞i=0P(Xi≠Yi)=2<∞ Xi Yi
Définissez et de manière équivalente pour . Choisissez un exemple de chemin de tel que uniquement pour un nombre fini de . Indexez ces termes par . Exige également de ce chemin que les soient finis. Pour un tel chemin, où . De plus, pour suffisamment grand ,SX,n=∑ni=0Xi SY,n (Xi)∞i=1 Xi>1 i J Xj,j∈J SJ:=Σj∈JXjnSX,n-SY,n=SJ.
En utilisant le résultat de Borel-Cantelli avec le fait que est presque sûrement fini, nous voyons que la probabilité d'un chemin d'échantillon obéissant à nos exigences est une. En d'autres termes, les termes différents vont à zéro presque sûrement. Nous avons donc par le théorème de Slutsky que pour assez grand , où . n 1Xi n ξ∼N(0,1)
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