Formule d'estimation de régression quantile

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J'ai vu deux représentations différentes de l'estimateur de régression quantile qui sont

Q(βq)=i:yixiβnqyixiβq+i:yi<xiβn(1q)yixiβq

et

Q(βq)=i=1nρq(yixiβq),ρq(u)=ui(q1(ui<0))

où . Quelqu'un peut-il me dire comment montrer l'équivalence de ces deux expressions? Voici ce que j'ai essayé jusqu'à présent, à partir de la deuxième expression.ui=yixiβq

Q(βq)=i=1nui(q1(ui<0))(yixiβq)=i=1n(yixiβq)(q1(yixiβq<0))(yixiβq)=[i:yixiβn(q(yixiβq))+i:yi<xiβn(q(yixiβq)(yixiβq))](yixiβq)
Mais à partir de là, je suis resté coincé sur la façon de procéder. Veuillez noter que ce n'est pas une question de devoir ou de devoir. Merci beaucoup.
AlexH
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Réponses:

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Si vous vous souvenez, OLS minimise la somme des résidus carrés tandis que la régression médiane minimise la somme des résidus absolus . L'estimateur des écarts médians ou des écarts les moins absolus (DAL) est un cas particulier de régression quantile dans lequel vous avez . Dans la régression quantile, nous minimisons une somme d'erreurs absolues qui reçoivent des pondérations asymétriques pour la sur-prédiction et pour la sous-prédiction. Vous pouvez commencer à partir de la représentation CONT et l'étendre comme la somme de la fraction des données qui sont pondérées par et compte tenu de leur valeur de , et y travailler comme suit:iui2iuiq=.5(1q)qq(1q)ui

ρq(u)=1(ui>0)qui+1(ui0)(1q)ui=1(yixiβq>0)qyixiβq+1(yixiβq0)(1q)yixiβq
Ceci utilise simplement le fait que et ensuite vous pouvez réécrire la fonction d'indicateur en tant que sommes des observations qui satisfont les conditions des indicateurs . Cela donnera la première expression que vous avez notée pour l'estimateur de régression quantile.ui=yixiβq

=i:yi>xiβqnqyixiβq+i:yixiβqn(1q)yixiβq=qi:yi>xiβqnyixiβq+(1q)i:yixiβqnyixiβq=qi:yi>xiβqn(yixiβq)(1q)i:yixiβqn(yixiβq)=qi:yi>xiβqn(yixiβq)i:yixiβqn(yixiβq)+qi:yixiβqn(yixiβq)=qi=1n(yixiβq)i=1n1(yixiβq0)(yixiβq)=i=1n(q1(ui0))ui

La deuxième ligne extrait les poids des sommations. La troisième ligne supprime les valeurs absolues et les remplace par les valeurs réelles. Par définition est négatif chaque fois que , d'où le changement de signe dans cette ligne. La quatrième ligne se multiplie . Vous réalisez alors que et en remplaçant la sommation du moyen terme à la quatrième ligne par l'indicateur correspondant vous arrivez à la cinquième ligne. Factorisation puis remplacement deyixiβqyi<xiβq(1q)

qi:yi>xiβqn(yixiβq)+qi:yixiβqn(yixiβq)=i=1n(yixiβq)
yixiβqui
Cela montre comment les deux expressions sont équivalentes.
Andy
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