Dériver la distribution bivariée de Poisson

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J'ai récemment rencontré la distribution bivariée de Poisson, mais je suis un peu confus quant à la façon de la dériver.

La distribution est donnée par:

P(X=x,Y=y)=e(θ1+θ2+θ0)θ1xx!θ2yy!i=0min(x,y)(xi)(yi)i!(θ0θ1θ2)i

D'après ce que je peux comprendre, le terme θ0 est une mesure de corrélation entre X et Y ; par conséquent, lorsque X et Y sont indépendants, θ0=0 et la distribution devient simplement le produit de deux distributions de Poisson univariées.

Dans cet esprit, ma confusion repose sur le terme de sommation - Je suppose ce terme explique la corrélation entre X et Y .

Il me semble que la sommation constitue une sorte de produit de fonctions de distribution cumulative binomiale où la probabilité de "succès" est donnée par (θ0θ1θ2) et la probabilité de "panne" est donnée par i!1min(x,y)i , car (i!1min(x,y)i!)(min(x,y)i)=i!, mais je pourrais être loin avec ça.

Quelqu'un pourrait-il fournir de l'aide sur la façon dont cette distribution peut être dérivée? De plus, si l'on pouvait inclure dans n'importe quelle réponse comment ce modèle pourrait être étendu à un scénario à plusieurs variables (disons trois variables aléatoires ou plus), ce serait formidable!

(Enfin, j'ai noté qu'il y avait une question similaire postée auparavant ( Comprendre la distribution bivariée de Poisson ), mais la dérivation n'a pas été réellement explorée.)

user9171
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Le premier terme avec exposant ne devrait-il pas être au lieu de ? e θ 1 + θ 2 + θ 0e(θ1+θ2+θ0)eθ1+θ2+θ0
Gilles
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@Giles Désolé, j'ai mal lu votre commentaire au départ - oui, vous avez raison; le terme doit se lire . Merci d'avoir attrapé ça! e(θ1+θ2+θ0)
user9171
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En général, ce n'est pas "le" pour les versions multivariées des distributions univariées, à quelques exceptions conventionnelles ("le" multivarié normal par exemple). Il existe de nombreuses façons d'obtenir des extensions multivariées, selon les fonctionnalités les plus importantes à avoir. Différents auteurs peuvent avoir différentes versions multivariées de distributions univariées communes. Donc, en général, on pourrait dire quelque chose comme " un poisson multivarié", ou "Poisson
bivarié de Untel
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(ctd) ... par exemple, certains auteurs recherchent une distribution multivariée capable de dépendance négative, une capacité que celle-ci ne possède pas.
Glen_b -Reinstate Monica

Réponses:

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Dans une présentation de diapositives , Karlis et Ntzoufras définissent un Poisson bivarié comme la distribution de où les ont indépendamment des distributions de Poisson . Rappelons qu'avoir un tel moyen de distributionX i θ i(X,Y)=(X1+X0,X2+X0)Xiθi

Pr(Xi=k)=eθiθikk!

pourk=0,1,2,.

L'événement est l'union disjointe des événements(X,Y)=(x,y)

(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)

pour tous les qui font des trois composantes des entiers non négatifs, dont on peut déduire que . Parce que les sont indépendants, leurs probabilités se multiplient, d'où0 i min ( x , y ) X ii0imin(x,y)Xi

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=Pr((X,Y)=(x,y))=i=0min(x,y)Pr(X0=i)Pr(X1=xi)Pr(X2=yi).

Ceci est une formule; nous avons fini. Mais pour voir qu'elle est équivalente à la formule de la question, utilisez la définition de la distribution de Poisson pour écrire ces probabilités en termes de paramètres et (en supposant qu'aucun de est nul) retravaillez-le algébriquement pour ressembler autant que possible au produit :θ 1 , θ 2 Pr ( X 1 = x ) Pr ( X 2 = y )θiθ1,θ2Pr(X1=x)Pr(X2=y)

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=i=0min(x,y)(eθ0θ0ii!)(eθ1θ1xi(xi)!)(eθ2θ2yi(yi)!)=e(θ1+θ2)θ1xx!θ2yy!(eθ0i=0min(x,y)θ0ii!x!θ1i(xi)!y!θ2i(yi)!).

Si vous voulez vraiment - c'est quelque peu suggestif - vous pouvez ré-exprimer les termes dans la somme en utilisant les coefficients binomiaux Et , donnant(xi)=x!/((xi)!i!)(yi)

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=e(θ0+θ1+θ2)θ1xx!θ2yy!i=0min(x,y)i!(xi)(yi)(θ0θ1θ2)i,

exactement comme dans la question.


La généralisation aux scénarios multivariés pourrait se dérouler de plusieurs manières, selon la flexibilité nécessaire. Le plus simple envisagerait la distribution de

(X1+X0,X2+X0,,Xd+X0)

pour les variables indépendantes de Poisson réparties . Pour plus de flexibilité, des variables supplémentaires pourraient être introduites. Par exemple, utilisez des variables indépendantes Poisson et considérez la distribution multivariée de ,X0,X1,,XdηiY1,,YdXi+(Yi+Yi+1++Yd)i=1,2,,d.

whuber
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bravo! Au fait, le deuxième dans la grande parenthèse avant la dernière étape ne devrait-il pas être ? eθ0eθ2
Gilles
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@ Gilles Merci d'avoir attrapé la faute de frappe - je l'ai corrigée. L'exposant initial de devait être ; l' entre parenthèses est correct. θ0+θ1θ1+θ2eθ0
whuber
@whuber Merci un million! Voilà une réponse parfaite!
user9171
@whuber Excellente réponse! Je ne vois toujours pas pourquoi l'événement devrait être l'union disjointe des événements . Je suppose que cela n'est vrai que pour . Peut-être que vous vouliez dire (au niveau des composants)? Mais est-ce suffisant pour caractériser la fonction de distribution? (X,Y)=(x,y)(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)i=0(X,Y)(x,y)
vanguard2k
@ vanguard2k Je ne comprends pas votre commentaire. Affirmez-vous que ces événements ne sont pas disjoints? (Pourtant, ils doivent l'être, car ils ont des valeurs distinctes de .) Ou -vous qu'ils ne sont pas exhaustifs? (Si oui, quelle (s) valeur (s) de pensez-vous ne pas avoir été incluse?)X0(X,Y)
whuber
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Voici un moyen de dériver la distribution bivariée de poisson.

Soit des variables aléatoires de poisson indépendantes avec les paramètres . Ensuite, nous définissons . La variable , commune aux deux et , entraîne la la paire . Ensuite, nous devons calculer la fonction de masse de probabilité:X0,X1,X2θ0,θ1,θ2Y1=X0+X1,Y2=X0+X2X0Y1Y2(Y1,Y2)

P(Y1=y1,Y2=y2)=P(X0+X1=y1,X0+X2=y2)=x0=0min(y1,y2)P(X0=x0)P(X1=y1x0)P(X2=y2y0)=x0=0min(y1,y2)eθ0θ0x0x0!eθ1θ1y1x0(y1x0)!eθ2θ2y2x0(y2x0)!=eθ0θ1θ2θ1y1θ2y2x0=0min(y1,y2)(θ0θ1θ2)x0x0!(y1x0)(y2x0)

J'espère que cela vous aidera!
kjetil b halvorsen
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Salut Kjetil - J'ai résolu les problèmes de formatage (mais, souhaitant changer le moins possible, j'ai laissé plusieurs fautes de frappe intactes). Je ne comprends pas pourquoi vous publiez une réplique de la dérivation dans ma réponse précédente, surtout lorsque vous avez perdu certains facteurs cruciaux en cours de route qui provoquent un résultat final incorrect. Y a-t-il un point particulier que vous essayez de faire valoir? TEX
whuber
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whuber: J'ai commencé à écrire ma réponse avant que votre réponse ne soit publiée! sinon, je ne l'aurais pas écrit.
kjetil b halvorsen