J'ai récemment rencontré la distribution bivariée de Poisson, mais je suis un peu confus quant à la façon de la dériver.
La distribution est donnée par:
D'après ce que je peux comprendre, le terme est une mesure de corrélation entre et ; par conséquent, lorsque et sont indépendants, et la distribution devient simplement le produit de deux distributions de Poisson univariées.
Dans cet esprit, ma confusion repose sur le terme de sommation - Je suppose ce terme explique la corrélation entre et .
Il me semble que la sommation constitue une sorte de produit de fonctions de distribution cumulative binomiale où la probabilité de "succès" est donnée par et la probabilité de "panne" est donnée par , car , mais je pourrais être loin avec ça.
Quelqu'un pourrait-il fournir de l'aide sur la façon dont cette distribution peut être dérivée? De plus, si l'on pouvait inclure dans n'importe quelle réponse comment ce modèle pourrait être étendu à un scénario à plusieurs variables (disons trois variables aléatoires ou plus), ce serait formidable!
(Enfin, j'ai noté qu'il y avait une question similaire postée auparavant ( Comprendre la distribution bivariée de Poisson ), mais la dérivation n'a pas été réellement explorée.)
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Réponses:
Dans une présentation de diapositives , Karlis et Ntzoufras définissent un Poisson bivarié comme la distribution de où les ont indépendamment des distributions de Poisson . Rappelons qu'avoir un tel moyen de distributionX i θ i(X,Y)=(X1+X0,X2+X0) Xi θi
pourk=0,1,2,….
L'événement est l'union disjointe des événements(X,Y)=(x,y)
pour tous les qui font des trois composantes des entiers non négatifs, dont on peut déduire que . Parce que les sont indépendants, leurs probabilités se multiplient, d'où0 ≤ i ≤ min ( x , y ) X ii 0≤i≤min(x,y) Xi
Ceci est une formule; nous avons fini. Mais pour voir qu'elle est équivalente à la formule de la question, utilisez la définition de la distribution de Poisson pour écrire ces probabilités en termes de paramètres et (en supposant qu'aucun de est nul) retravaillez-le algébriquement pour ressembler autant que possible au produit :θ 1 , θ 2 Pr ( X 1 = x ) Pr ( X 2 = y )θi θ1,θ2 Pr(X1=x)Pr(X2=y)
Si vous voulez vraiment - c'est quelque peu suggestif - vous pouvez ré-exprimer les termes dans la somme en utilisant les coefficients binomiaux Et , donnant(xi)=x!/((x−i)!i!) (yi)
exactement comme dans la question.
La généralisation aux scénarios multivariés pourrait se dérouler de plusieurs manières, selon la flexibilité nécessaire. Le plus simple envisagerait la distribution de
pour les variables indépendantes de Poisson réparties . Pour plus de flexibilité, des variables supplémentaires pourraient être introduites. Par exemple, utilisez des variables indépendantes Poisson et considérez la distribution multivariée de ,X0,X1,…,Xd ηi Y1,…,Yd Xi+(Yi+Yi+1+⋯+Yd) i=1,2,…,d.
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Voici un moyen de dériver la distribution bivariée de poisson.
Soit des variables aléatoires de poisson indépendantes avec les paramètres . Ensuite, nous définissons . La variable , commune aux deux et , entraîne la la paire . Ensuite, nous devons calculer la fonction de masse de probabilité:X0,X1,X2 θ0,θ1,θ2 Y1=X0+X1,Y2=X0+X2 X0 Y1 Y2 (Y1,Y2)
J'espère que cela vous aidera!
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