J'ai une question sur la marche aléatoire de deux rois dans un échiquier 3 × 3.
Chaque roi se déplace au hasard avec une probabilité égale sur cet échiquier - verticalement, horizontalement et en diagonale. Les deux rois se déplacent indépendamment l'un de l'autre sur le même échiquier. Les deux commencent sur le même carré, puis se déplacent indépendamment.
Comment pourrions-nous trouver la probabilité dans le temps deux sont dans le même carré, car va à l'infini?
Réponses:
Exploitons la symétrie pour simplifier les calculs.
L'échiquier et ses mouvements restent les mêmes lorsque le plateau est réfléchi verticalement, horizontalement ou en diagonale. Cela décompose ses neuf carrés en trois types, leurs orbites sous ce groupe de symétrie. De façon correspondante, chaque roi peut être dans l'un des trois "états": un carré d'angle ( ), un carré de bord ( ) ou le carré central ("central") ( ). (Un état ignore quel carré particulier se trouve un roi et ne suit que sa classe d'équivalence sous le groupe de symétries.)C E M
Les résultats suivants sont immédiats:
À partir d'un carré d'angle, il y a deux transitions vers des carrés de bord et une transition vers un carré du milieu. Parce que les trois transitions sont équiprobables,
Cela donne une ligne dans une matrice de transition pour les états .(0,2/3,1/3) (C,E,M)
D'un carré de bord, il y a deux transitions vers des carrés d'angle, deux vers d'autres carrés de bord et une vers le carré du milieu. Cela donne une deuxième ligne dans une matrice de transition.(2/5,2/5,1/5)
Du carré du milieu, il y a quatre transitions vers les carrés d'angle et quatre vers les carrés du milieu. La troisième ligne d'une matrice de transition est donc .(4/8,4/8,0)=(1/2,1/2,0)
Dans ce graphique représentant cette chaîne de Markov, les probabilités de transition sont représentées à la fois par l'épaisseur du bord et la couleur:
Par inspection ou autrement, nous constatons qu'un vecteur propre gauche de sa matrice de transition
est . Cette affirmation est facilement vérifiée en effectuant la multiplication: La valeur propre est manifestement . Parce que tous les états sont connectés, donne les probabilités limitatives de chaque roi dans chaque état; il suffit de redimensionner ses composants pour résumer à l'unité:ω=(3,5,2)′ ωP=1ω. 1 ω
(C'est là que nous récoltons les avantages de l'exploitation de la symétrie: au lieu de travailler avec une matrice de neuf par neuf de éléments, nous n'avons qu'à calculer avec une matrice de trois par trois de éléments. La réduction du problème de neuf états à trois payé de façon quadratique en réduisant l'effort de calcul d'un facteur )81 9 (9/3)2=9
La probabilité (limite) que les deux rois soient dans un état de probabilité (limite) est parce que les rois se déplacent indépendamment. La chance que les deux rois soient dans la même cellule est trouvée en conditionnant l'état: par symétrie, chaque cellule dans un état donné a la même probabilité limite, donc si les deux rois se trouvent dans un état ayant cellules, la chance qu'ils sont tous deux dans la même cellule est . D'où vient la solutions ωs ω2s s ks 1/ks
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Étant donné que les deux rois se déplacent indépendamment, vous pouvez les considérer séparément. Si la carte est de taille finie et n'a pas de sous-sections fermées, c'est l'un de ces cas où la distribution stationnaire peut être trouvée en résolvant l'équation détaillée de l'équilibre.
Dans ce cas, lorsque va à l'infini, la probabilité qu'un roi soit dans un carré devient proportionnelle au nombre de carrés qui lui sont adjacents, soit trois pour chaque carré d'angle, cinq pour chaque carré de bord et huit pour le carré du milieu. Cela équivaut à , donc la chance d'être dans le carré du milieu est , dans n'importe quel carré d'angle est et dans n'importe quel carré de bord est .n 40 8/40 3/40 5/40
Comme cela est vrai pour les deux rois indépendamment, la chance qu'ils soient tous deux dans le carré du milieu est , que les deux soient dans n'importe quel carré d'angle est , et dans tout carré de bord est . Donc, la chance qu'ils soient dans le même carré approche car approche de l'infini.(8/40)2=64/1600 (3/40)2=9/1600 (5/40)2=25/1600 64+4×9+4×251600=2001600=18 n
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Vous pouvez résoudre en utilisant la matrice de probabilité de transition.
Construire une matrice de probabilité de transition, en utilisant la probabilité d'une cellule à l'autre. Par exemple: . P sera une matrice .P[C1,C2]=P[C1,C4]=P[C1,C5]=13 9×9
Vous pouvez maintenant calculer les probabilités stationnaires (puisque tous les états sont récurrents).
Résolvez telle sorte que .πP=π ∑π=1
Cela donne la probabilité qu'un roi dans un carré particulier soit n grand. Utilisez la propriété d'indépendance, vous pouvez arriver à la probabilité requise.
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