Je veux montrer

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Soit une variable aléatoire sur l'espace des probabilités Montrer queX:ΩN(Ω,B,P)

E(X)=n=1P(Xn).

ma définition de est égale à E(X)

E(X)=ΩXdP.

Merci.

ambagher pual
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Hmmm, vous voulez peut-être ajouter que ... non? X0
Stat
@Stat: non, . est naturel. Considérons toujours égal à 2. . P(X0)=1XXE(X)=2=P(X1)+P(X2)
Janvier
oups, je n'ai pas vu ! N
Stat
1
L'instruction est (légèrement) incorrecte: parce que inclut , la sommation doit commencer à au lieu de . N001
whuber
4
@whuber Non, la somme doit commencer à (essayez le cas où ). n=1P[X=42]=1
A fait

Réponses:

12

La définition de pour discret est .E(X)XE(X)=ixiP(X=xi)

P(Xi)=P(X=i)+P(X=i+1)+

Alors

iP(Xi)=P(X1)+P(X2)+=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)++P(X=2)+P(X=3)+

(nous réorganisons les termes dans la dernière expression)

=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+=iiP(X=i)

qed

janvier
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4
Vous êtes censé fournir des conseils utiles pour les balises d'auto-apprentissage et non la réponse complète. Il vaut mieux ne pas résoudre leurs devoirs :)
Stat
1
N'avez-vous pas besoin d'expliquer pourquoi pouvez-vous commander à nouveau la somme? ce serait important si vous cherchez une démonstration rigoureuse.
Manuel
@ Janvier. Dans la question est une variable aléatoire, ne mentionnez pas que est discret ou continu. XXX
pual ambagher
1
Pual, oui, vous avez indiqué que est discret à la toute première ligne: «discret» (dans son sens le plus large possible) signifie qu'il existe un sous-ensemble dénombrable de la plage de variables pour lequel il a la probabilité ; et parce que est dénombrable, votre doit être discret. 1 N XX1NX
whuber
@ whuber.Je suis d'accord et je l'ai eu. et merci à tous.
ambagher pual
11

J'aime la réponse de janvier. Puis-je suggérer un moyen d'écrire la série pour que l'œil capte plus facilement le réarrangement (c'est ainsi que j'aime l'écrire sur le tableau noir)? (Le réarrangement est mathématiquement valable car il s'agit d'une série de termes positifs .)

k=1P(Xk)=P(X1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)++P(X2)+P(X=2)+P(X=3)++P(X3)+P(X=3)+++
Zen
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Supposez-vous que X est discret?
BCLC
@BCLC, la formule ne fonctionne que lorsque X peut prendre des entiers positifs. En effet, pour, disons, la distribution uniforme standard donne 1 alors que la réponse est 1/2. Ou, même dans le cas discret, considérons la distribution en deux points : la formule donne 0, tandis que la valeur moyenne est 3/8. P(X=1/4)=P(X=1/2)=1/2
Artem Sobolev
3

Je pense que la façon standard de le faire est d'écrire

X=n=11(Xn)

E(X)=E(n=11(Xn))

puis inverser l'ordre d'attente et la somme (par le théorème de Tonelli)

seanv507
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Intéressant. Est-il exact de dire que cela ne suppose PAS que est discret? : OX
BCLC
1
@BCLC La première ligne n'est vraie que si X est un nombre naturel, donc ce n'est pas correct ....
seanv507
1

L'une des autres excellentes réponses ici (de seanv507 ) a noté que cette règle d'attente résulte en fait d'un résultat plus fort qui exprime la variable aléatoire sous-jacente comme une somme infinie de variables indicatrices. Il est possible de prouver un résultat plus général, et cela peut être utilisé pour obtenir la règle d'attente dans la question. Si (donc son support n'est pas plus large que les nombres naturels) alors on peut montrer (preuve ci-dessous) que:X:ΩN

X=n=1max(X,m)I(Xn)for all mN.

Prendre donne alors le résultat utile:m

X=n=1I(Xn).

Il convient de noter que ce résultat est plus fort que la règle de l'espérance dans la question, car il donne une décomposition pour la variable aléatoire sous-jacente, et pas seulement son moment. Comme indiqué dans l'autre réponse, prendre les attentes des deux côtés de cette équation et appliquer le théorème de Tonelli (pour permuter l'ordre des opérateurs de somme et d'attente) donne la règle d'attente dans la question. Il s'agit d'une règle d'attente standard utilisée pour les variables aléatoires non négatives.


Le résultat ci-dessus peut être prouvé assez simplement. Commencez par observer que:

X=1+1++1X times+0+0++0countable times.

Pour tout nous avons donc:mN

X=1+1++1X times+0+0++0max(0,mX) times=n=1XI(Xn)+n=1max(0,mX)I(XX+n)=n=1XI(Xn)+n=X+1max(X,m)I(Xn)=n=1max(X,m)I(Xn)..

Ben - Réintègre Monica
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