Condition nécessaire et suffisante à la MGF conjointe pour l'indépendance

Supposons que j'ai une fonction de génération de moment conjoint pour une distribution conjointe avec CDF F X , Y ( x , y ) . Est-ce que M X , Y ( s , t ) = M X , Y ( s , 0 ) ⋅ M X , Y ( 0 , t ) à la fois nécessaire et suffisant$M_{X,Y}(s,t)$$F_{X,Y}(x,y)$$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$condition d'indépendance de et Y ? J'ai vérifié quelques manuels, qui ne mentionnaient que la nécessité:$X$$Y$

Ce résultat est clair car l'indépendance implique . Étant donné que les MGF des marginaux sont déterminés par le MGF conjoint, nous avons:$M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

Mais après avoir cherché en ligne, je n'ai trouvé qu'une référence éphémère, sans preuve, à l'inverse . L'esquisse suivante est-elle réalisable?

Étant donné une MGF commune , cela détermine uniquement les distributions marginales de X et Y et de leurs MGF, M X ( s ) = M X , Y ( s , 0 ) et M Y ( t ) = M X , Y ( 0 , t $M_{X,Y}(s,t)$$X$$Y$$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$. Les marginaux seuls sont compatibles avec de nombreuses autres distributions conjointes possibles et déterminent uniquement une distribution conjointe dans laquelle et Y sont indépendants, avec CDF F ind X , Y ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) et MGF:$X$$Y$$F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$$F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$$X$$Y$

Oui, c'est la condition nécessaire et suffisante pour l'indépendance non seulement pour deux variables aléatoires mais aussi pour une séquence (finie) de variables aléatoires. Consultez par exemple P.2 à la page 242 de Probability with Statistical Applications , par Rinaldo B. Schinazi. Ou à la page 259 de l' analyse économétrique des données de comptage qui est basée sur la fonction de génération de probabilité. Il suffit de noter que "la fonction de génération de moment n'existe pas toujours".