Vous avez mis le doigt sur le nœud du problème, et en effet le résultat est assez évident, mais la logique semble un peu décalée. La méthode décrite ci-dessous utilise à plusieurs reprises des logarithmes et la différenciation pour rendre le problème progressivement plus simple, jusqu'à ce qu'il devienne tout à fait trivial.
Par définition, f est le PDF d'une famille exponentielle lorsque son logarithme peut être écrit comme une somme de quelque chose en termes de paramètre (a) uniquement, autre chose en termes de données (y) seulement, et autre chose qui est le produit d'une fonction de a et une fonction de y. Cela signifie que vous êtes libre d'ignorer tous les facteurs qui ne dépendent clairement que du paramètre ou uniquement des données. Dans ce cas, c'est évident41+4a ne dépend que de a, nous pouvons donc l'ignorer.
Le problème est avec y+a. Nous devons prouver qu'il ne peut exister de "belles" fonctionsη et T tel que log(y+a)=η(a)T(y) plus une fonction de a seul, plus une autre fonction de yseul. Cette partie "plus" est ennuyeuse, mais nous pouvons la tuer en différenciant d'abord en ce qui concernea (la dérivée de toute fonction de y seul sera nul) puis en ce qui concerne y (la dérivée d'une fonction de aseul sera nul). Lors de la négation des deux côtés (pour rendre le côté gauche positif), cela donne
-∂2∂un ∂yJournal( y+ a ) =1( a + y)2= -η′( A )T′( y) .
Je veux prendre des logarithmes pour simplifier le côté droit (qui, étant égal au côté gauche, est toujours positif). En supposantη′ et T′ sont à la fois continus garantira qu'il y a des intervalles de valeurs pour une et pour y dans lequel soit -η′( a ) > 0 et T′( y) > 0 ou sinon η′( a ) > 0 et -T′( y) > 0. Cela signifie que nous pouvons en effet diviser le côté droit en deux facteurs positifs, ce qui permet d'appliquer le logarithme. Faire ainsi donne
- 2 journaux( a + y) = log1( a + y)2= journal( -η′( A )T′( y) ) = log( -η′( a ) ) + journal(T′( y) )
(ou bien une expression comparable avec quelques signes négatifs ajoutés). Maintenant, nous jouons le même jeu: dans les deux cas, différencier les deux parties par rapport aux deuxune et y les rendements
2( a + y)2= 0 ,
une impossibilité.
Avec le recul, cette approche devait supposer à la fois η et Tont des dérivées secondes dans certains intervalles de leurs arguments. L'analyse peut être effectuée dans le même sens en utilisant des différences finies pour affaiblir ces hypothèses, mais cela ne vaut probablement pas la peine.
Il sera en famille exponentielle s'il peut être écrit enFh ( x )eη T( x ) - A ( η ) (avec d'autres conditions).
Laisser
Nulle partF( y; a ) = 4y+ a( 4 a + 1 ) = 4e(l n ( y+ a ) - l n ( 4 a + 1 ) ) . Prendreg( x , η ) = l n ( y+ a ) - l n ( 4 a + 1 ) .
Donc( g( x 1 , η ) - g( x 2 , η ) )( g( x 3 , η ) - g( x 4 , η ) ) =( l n ( y1 + a ) - l n ( y2 + a ) )( l n ( y3 + a ) - l n ( y4 + a ) )
- qui n'est pas exempt de. doncF( y; a ) n'appartient pas à la famille exponentielle.
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