Il est facile de produire une variable aléatoire avec une distribution de Dirichlet en utilisant des variables Gamma avec le même paramètre d'échelle. Si:
Alors:
Problème Que se passe-t-il si les paramètres d'échelle ne sont pas égaux?
Alors quelle est la distribution de cette variable?
Pour moi, il suffirait de connaître la valeur attendue de cette distribution.
J'ai besoin d'une formule algébrique fermée approximative qui peut être évaluée très très rapidement par un ordinateur.
Disons qu'une approximation avec une précision de 0,01 est suffisante.
Vous pouvez supposer que:
Remarque En bref, la tâche consiste à trouver une approximation de cette intégrale:
Réponses:
Juste une remarque initiale, si vous voulez une vitesse de calcul, vous devez généralement sacrifier la précision. "Plus de précision" = "Plus de temps" en général. Quoi qu'il en soit, voici une approximation de second ordre, devrait améliorer le "brut" approximatif que vous avez suggéré dans votre commentaire ci-dessus:
=α j
EDIT Une explication de l'extension ci-dessus a été demandée. La réponse courte est wikipedia . La réponse longue est donnée ci-dessous.
écrire . Nous avons maintenant besoin de toutes les dérivées "de second ordre" def. Les dérivés du premier ordre "s'annuleront" car ils impliqueront tous des multiplesX-E(X)etY-E(Y)qui sont tous les deux nuls en prenant les attentes.f(x,y)=xy f X−E(X) Y−E(Y)
∂2f
Et donc la série taylor jusqu'au deuxième ordre est donnée par:
Taking expectations yields:
Which is the answer I gave. (although I initially forgot the minus sign in the second term)
la source