J'ai une variable aléatoire où a est normalement distribué . Que puis-je dire à propos de et ? Une approximation serait également utile.
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logarithm
Rockportrocker
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Réponses:
Si nous considérons «approximation» dans un sens assez général, nous pouvons arriver quelque part.
Nous devons supposer non pas que nous avons une distribution normale réelle, mais quelque chose qui est approximativement normal, sauf que la densité ne peut pas être différente de zéro dans un voisinage de 0.
Supposons donc quea soit "approximativement normal" (et concentré près de la moyenne *) dans un sens que nous pouvons dissiper les inquiétudes concernant a rapprochement de 0 (et son impact ultérieur sur les moments de Journal( A ) , car une doesn 't' descend près de 0 '), mais avec les mêmes moments d'ordre bas que la distribution normale spécifiée, nous pourrions alors utiliser la série de Taylor pour approximer les moments de la variable aléatoire transformée .
Pour certaines transformations , cela implique d'élargir g ( μ X + X - μ X ) comme une série de Taylor (pensez g ( x + h ) où μ X joue le rôle de ' x ' et X - μ X prend le rôle de « h »), puis prendre les attentes, puis calculer la variance ou l'espérance du carré de l'expansion (à partir de laquelle on peut obtenir la variance).g( X) g( μX+ X- μX) g( x + h ) μX X X- μX h
L'espérance et la variance approximatives qui en résultent sont:
et donc (si je n'ai fait aucune erreur), quand :g()=log()
* Pour que ce soit une bonne approximation, vous voulez généralement que l'écart-type de soit assez petit par rapport à la moyenne (faible coefficient de variation).a
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