Comment trouver une distribution marginale à partir d'une distribution conjointe avec dépendance multi-variable?

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L'un des problèmes de mon manuel se pose comme suit. Un vecteur continu stochastique bidimensionnel a la fonction de densité suivante:

fX,Y(x,y)={15xy2if 0 < x < 1 and 0 < y < x0otherwise

Montrer que les fonctions de densité marginale et f Y sont:fXfY

fX(x)={5x4if 0 < x < 10otherwise

fY(y)={152y2(1y2)if 0 < y < 10otherwise

Je comprends comment la fonction de densité est calculée, en intégrant f X , Y de 0 à x par rapport à y . Je suis cependant totalement perdu sur f Y , d'où vient le ( 1 - y 2 ) ? Si j'intègre de 0 à 1 par rapport à x alors je ne reçois que 15fXfX,Y0xyfY(1y2)01x, et pourquoi la plage0<y<1?152y20<y<1

J'ai représenté graphiquement le support pour , toutes les valeurs où f X , Y > 0 sont colorées en bleu:X,YfX,Y>0

Le support de $ X, Y $

soren.qvist
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(X,Y)(x,y)f(x,y)0
@whuber D'accord, j'ai donc représenté graphiquement le support et je pense que je comprends pourquoi c'est 0 <y <1, c'est parce que x n'est défini que dans 0 <x <1 et depuis 0 <y <x nous avons alors naturellement que y est seulement défini de 0 à 1, correct? Mais je ne comprends toujours pas la partie (1-y ^ 2).
soren.qvist
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fY(y)fX,Y(x,y)y0<y<1xy<x<1
fY(y)=fX,Y(x,y)dx=y115xy2dx
(1y2)
y0<y<1xy<x<1
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fY(0.4)x(15(0.4)2)x=2.4xx0.410yfY(y)yfY(y)fY(y)

Réponses:

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fY(y)fX,Y(x,y)fX,Y(x,y)XX=yX=1Y=XX=1

X=yX=1

fY(y)=y1fX,Y(x,y)dx=y115xy2dx=15y2y1xdx=15y2(12x2|y1)=152y2(1y2).
user3487564
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