Comment trouver une distribution marginale à partir d'une distribution conjointe avec dépendance multi-variable?

L'un des problèmes de mon manuel se pose comme suit. Un vecteur continu stochastique bidimensionnel a la fonction de densité suivante:

$$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$$

Montrer que les fonctions de densité marginale et f Y sont:$f_X$$f_Y$

$$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$$

$$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$$

Je comprends comment la fonction de densité est calculée, en intégrant f X , Y de 0 à x par rapport à y . Je suis cependant totalement perdu sur f Y , d'où vient le ( 1 - y 2 ) ? Si j'intègre de 0 à 1 par rapport à x alors je ne reçois que $f_X$$f_{X,Y}$$0$$x$$y$$f_Y$$(1-y^2)$$0$$1$$x$, et pourquoi la plage0<y<1?$\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$$0 < y < 1$

J'ai représenté graphiquement le support pour , toutes les valeurs où f X , Y > 0 sont colorées en bleu:$X,Y$$f_{X,Y}>0$

$f_{Y}(y)$$f_{X,Y}(x,y)$$f_{X,Y}(x,y)$$X$$X=y$$X=1$$Y=X$$X=1$

$X=y$$X=1$

$$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$$