Considérons un graphique géométrique aléatoire infini dans lequel les emplacements des nœuds suivent un processus de point de Poisson avec une densité et des arêtes sont placées entre les nœuds plus proches que . Par conséquent, la longueur des bords suit le PDF suivant:d
Dans le graphique ci-dessus, considérons les nœuds à l'intérieur du cercle de rayon centré à l'origine. Supposons qu'au temps , nous plaçons un petit robot à l'intérieur de chacun des nœuds mentionnés. C'est-à-dire que la densité des robots dans l'avion est donnée par:t = 0
À chaque pas de temps, les robots se rendent au hasard chez l'un des voisins.
Maintenant, ma question est la suivante: quelle est la fonction de densité des robots à ? Est-il possible de calculer la fonction de densité lorsque ?
Désolé les gars, je ne suis en aucun cas un mathématicien. Veuillez me faire savoir si quelque chose n'est pas clair.
Réponses:
Voici un début.
Soit le rayon de la balle que vous envisagez.r = d/ 2
Tout d'abord, lisez les promenades aléatoires: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk . Supposons que vous n'ayez qu'un seul robot et que votre marche aléatoire se fasse sur un réseau bidimensionnel. Pour les petits , c'est facile à calculer avec la multiplication matricielle. Vous savez qu'il n'y a que n = 1 + 4 t + 2 t ( t - 1 ) points possibles dans le réseau sur lesquels vous pouvez marcher ou atterrir après t pas. Soit A t la matrice d'adjacence n × n de ces n sommets. Soit e it n = 1 + 4 t + 2 t ( t - 1 ) t UNEt n × n n soit le vecteur de tous les0s à l'exception d'un1auième point. Supposons que la première ligne (et colonne) de A t correspond à l'origine. Alors, la probabilité que vous soyez au sommetiaprèstétapes est e ′ 1 , t A t t e i , t (où les moyens premiers se transposent, et A t =A×A⋯×Aei , t∈ { 0 , 1 }n 0 1 je UNEt je t e′1,tAttei , t UNEt= A × A ⋯ × A est portée à la t - ième puissance). Je suis sûr que vous devriez être en mesure de résoudre ce problème de manière explicite. Vous pouvez utiliser le fait que tout à la même distance de l'origine dans la norme L 1 doit avoir la même densité.UNE t L1
Après cet échauffement, passons à votre question d'origine. Après étapes, il suffit de considérer le graphe fini qui se trouve dans le rayon r ( t + 1 ) de la balle autour de l'origine (partout ailleurs a la probabilité 0 d'être accessible après seulement tt r ( t + 1 ) 0 t pas). Essayez de faire la matrice d'adjacence de ce graphique et de travailler avec elle de la même manière que le cas du réseau - je ne sais pas comment faire, mais je suppose qu'il existe une théorie de Markov pour vous aider. Une chose que vous pouvez profiter de nous, c'est que vous savez que cette distribution doit être symétrique autour de l'origine, en particulier la densité n'est fonction que de la distance de l'origine. Cela devrait faciliter les choses, donc tout ce que vous devez considérer est la probabilité que vous vous trouviez à la distance de l'origine après t étapes. Une fois que vous avez résolu ce problème, appelez votre densité à l'emplacement ( x , y ) après t étapes f t ( xq t ( x , y) t . Notez que f t sera fonction de r . Soit X une variable aléatoire échantillonnée à partir de cette distribution.Ft( x , y) Ft r X
Maintenant, vous devez également envisager de commencer avec plusieurs robots. En supposant que plusieurs robots soient autorisés à se trouver au même sommet, cela ne rend pas beaucoup plus difficile que le cas d'un seul robot. Les robots peuvent commencer de manière uniforme sur le cercle, appelez la variable aléatoire qui est échantillonné uniformément sur ce cercle . Il y aura un nombre de Poisson de robots avec lesquels vous commencez, soit M une variable aléatoire échantillonnée à partir de cette distribution de Poisson. Ainsi , la densité que vous obtenez de multiples robots est juste M U + X .U M MU+ X
Je pense que cela est un début raisonnable à la solution , sauf que je ne définissaient pas complètement la distribution de . Bonne chance et bonne question.X
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