Densité de robots faisant une marche aléatoire dans un graphique géométrique aléatoire infini

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Considérons un graphique géométrique aléatoire infini dans lequel les emplacements des nœuds suivent un processus de point de Poisson avec une densité et des arêtes sont placées entre les nœuds plus proches que . Par conséquent, la longueur des bords suit le PDF suivant:dρ

F(l)={2l2l0l>

Dans le graphique ci-dessus, considérons les nœuds à l'intérieur du cercle de rayon centré à l'origine. Supposons qu'au temps , nous plaçons un petit robot à l'intérieur de chacun des nœuds mentionnés. C'est-à-dire que la densité des robots dans l'avion est donnée par:t = 0rt=0

g(l)={ρlr0l>
où est la distance de l'origine. La figure suivante montre un exemple de placement initial des robots.l

exemple

À chaque pas de temps, les robots se rendent au hasard chez l'un des voisins.

Maintenant, ma question est la suivante: quelle est la fonction de densité des robots à t>0 ? Est-il possible de calculer la fonction de densité lorsque t ?

Désolé les gars, je ne suis en aucun cas un mathématicien. Veuillez me faire savoir si quelque chose n'est pas clair.

Hélium
la source
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Recherchez des livres de Wolfgang Woess en tant qu'éditeur ou auteur. Une collection récente: promenades aléatoires, frontières et spectres. Birkhauser, 2011. À partir de 2000 (Cambridge Univ.Press): promenades aléatoires sur des graphiques et des groupes infinis.
Deer Hunter
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Merci Hunter. J'ai jeté un coup d'œil à son livre de 2011 mais je n'ai rien trouvé de similaire. Je n'ai pas accès à celui de 2000 pour le moment mais je le rechercherai une fois que je l'aurai trouvé. Veuillez me faire savoir si vous vous souvenez de quelque chose de plus spécifique dans les livres.
Helium

Réponses:

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Voici un début.

Soit le rayon de la balle que vous envisagez.r=/2

Tout d'abord, lisez les promenades aléatoires: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk . Supposons que vous n'ayez qu'un seul robot et que votre marche aléatoire se fasse sur un réseau bidimensionnel. Pour les petits , c'est facile à calculer avec la multiplication matricielle. Vous savez qu'il n'y a que n = 1 + 4 t + 2 t ( t - 1 ) points possibles dans le réseau sur lesquels vous pouvez marcher ou atterrir après t pas. Soit A t la matrice d'adjacence n × n de ces n sommets. Soit e itn=1+4t+2t(t-1)tUNEtn×nn soit le vecteur de tous les0s à l'exception d'un1auième point. Supposons que la première ligne (et colonne) de A t correspond à l'origine. Alors, la probabilité que vous soyez au sommetiaprèstétapes est e 1 , t A t t e i , t (où les moyens premiers se transposent, et A t =A×A×Aeje,t{0,1}n01jeUNEtjete1,tUNEtteje,tUNEt=UNE×UNE×UNEest portée à la t - ième puissance). Je suis sûr que vous devriez être en mesure de résoudre ce problème de manière explicite. Vous pouvez utiliser le fait que tout à la même distance de l'origine dans la norme L 1 doit avoir la même densité.UNEtL1

Après cet échauffement, passons à votre question d'origine. Après étapes, il suffit de considérer le graphe fini qui se trouve dans le rayon r ( t + 1 ) de la balle autour de l'origine (partout ailleurs a la probabilité 0 d'être accessible après seulement ttr(t+1)0tpas). Essayez de faire la matrice d'adjacence de ce graphique et de travailler avec elle de la même manière que le cas du réseau - je ne sais pas comment faire, mais je suppose qu'il existe une théorie de Markov pour vous aider. Une chose que vous pouvez profiter de nous, c'est que vous savez que cette distribution doit être symétrique autour de l'origine, en particulier la densité n'est fonction que de la distance de l'origine. Cela devrait faciliter les choses, donc tout ce que vous devez considérer est la probabilité que vous vous trouviez à la distance de l'origine après t étapes. Une fois que vous avez résolu ce problème, appelez votre densité à l'emplacement ( x , y ) après t étapes f t ( xqt(X,y)t . Notez que f t sera fonction de r . Soit X une variable aléatoire échantillonnée à partir de cette distribution.Ft(X,y)FtrX

Maintenant, vous devez également envisager de commencer avec plusieurs robots. En supposant que plusieurs robots soient autorisés à se trouver au même sommet, cela ne rend pas beaucoup plus difficile que le cas d'un seul robot. Les robots peuvent commencer de manière uniforme sur le cercle, appelez la variable aléatoire qui est échantillonné uniformément sur ce cercle . Il y aura un nombre de Poisson de robots avec lesquels vous commencez, soit M une variable aléatoire échantillonnée à partir de cette distribution de Poisson. Ainsi , la densité que vous obtenez de multiples robots est juste M U + X .UMMU+X

Je pense que cela est un début raisonnable à la solution , sauf que je ne définissaient pas complètement la distribution de . Bonne chance et bonne question.X

user1448319
la source
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Pourriez-vous préciser comment vous avez obtenu le nombre total d'emplacements possibles occupés après étapes sur un réseau régulier? Par exemple, brancher t = 0 , t = 1 et t = 2 ne donne pas de réponses raisonnables. Votre réponse ne devrait-elle pas être t 2 ? tt=0t=1t=2t2
cardinal
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oh, bonne prise. ce n'est pas censé être , c'est censé être n = 1 + 4 t + 2 t ( t - 1 ) = 1 + 2 t + 2 t 2 . 1 est l'origine, + 4 t les axes, + 2 t ( t - 1 )n=1+4t+2(t1)2n=1+4t+2t(t1)=1+2t+2t21+4t+2t(t1)est les 4 tableaux triangulaires. par exemple, pour , ( 0 , 0 ) et ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) et les 3 autres directions, et ( 1 , 1 ) et les quatre autres quadrants. t=2(0,0)(1,0),(2,0)(1,1)
user1448319
Comment allez-vous être à après deux étapes? (Peut-être que je ne comprends pas la marche que vous décrivez. Si je pense à la marche aléatoire "habituelle" sur Z 2 , c'est-à-dire uniforme dans les quatre directions cardinales, alors, à moins que je ne me trompe, la réponse dans ma première le commentaire devrait être correct.)(1,0)Z2
Cardinal
Vous ne pouvez pas terminer sur après deux étapes à partir de ( 0 , 0 ) . Mais vous POUVEZ parcourir ( 1 , 0 ) après avoir fait deux étapes. Vous DEVEZ considérer tous les points qui sont accessibles en 2 étapes afin de construire A t comme décrit ci-dessus. (1,0)(0,0)(1,0)At
user1448319
C'est vrai, mais j'ai pris la phrase pour signifier ce qu'elle disait: vous savez qu'il n'y a que endroits possibles où vous pouvez atterrir sur le réseau après t étapes. n=1+4t+2(t1)2t:-) Peut-être qu'une modification aiderait à clarifier. À votre santé.
Cardinal