Supposons que ait le pdf
La densité de l'échantillon tiré de cette population est donc
L'estimateur du maximum de vraisemblance de peut être dérivé comme
Je souhaite savoir si la distribution limite de ce MLE est normale ou non.
Il est clair qu'une statistique suffisante pour basée sur l'échantillon est .
Maintenant, j'aurais dit que le MLE est asymptotiquement normal sans aucun doute s'il faisait partie de la famille exponentielle à un paramètre régulière. Je ne pense pas que ce soit le cas, en partie parce que nous avons une statistique suffisante en deux dimensions pour un paramètre unidimensionnel (comme dans la distribution , par exemple).
En utilisant le fait que et sont en fait des variables exponentielles indépendantes, je peux montrer que la distribution exacte de est telle que
Je ne peux pas continuer à trouver la distribution limite d'ici.
Au lieu de cela, je peux affirmer par WLLN que et , de sorte que .
Cela m'indique que converge en distribution vers . Mais cela n'est pas surprenant, car est un «bon» estimateur de . Et ce résultat n'est pas assez fort pour conclure si quelque chose comme est asymptotiquement normal ou non. Je ne pouvais pas non plus trouver d'argument raisonnable en utilisant CLT.
Il reste donc à savoir si la distribution parentale ici satisfait aux conditions de régularité pour que la distribution limite de MLE soit normale.
Réponses:
Une preuve directe de la normalité asymptotique:
La log-vraisemblance ici est
Les premier et deuxième dérivés sont
Le MLE de n s satisfaitθ^n
En appliquant une expansion de la valeur moyenne autour de la valeur réelleθ0 nous avons
pour certainsθ~n entre θ n et θ 0 . Réorganiser nous avons,θ^n θ0
Mais dans notre cas à paramètre unique, l'inverse n'est que l'inverse, donc, en insérant également les expressions spécifiques des dérivées,
La variance de la somme est
En raison de la cohérence de l'estimateur, nous avons également
et par le théorème de Slutsky nous arrivons à
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