Probabilité de

9

Supposons que et sont des variables aléatoires géométriques indépendantes avec le paramètre . Quelle est la probabilité que ?X1X2pX1X2

Je suis confus à propos de cette question car on ne nous dit rien sur et part leur géométrie. Ne serait-ce pas parce que et peuvent être n'importe quoi dans la plage?X1X250%X1X2

EDIT: Nouvelle tentative

P(X1X2)=P(X1>X2)+P(X1=X2)

P(X1=X2) = =x (1p)x1p(1p)x1pp2p

P(X1>X2) = etP(X1<X2)P(X1<X2)+P(X1>X2)+P(X1=X2)=1

Par conséquent, = \ frac {1-P (X1 = X2)} {2} = \ frac {1-p} {2-p} Ajout de P (X1 = X2) = \ frac {p} {2-p} à cela, je reçois P (X1 ≥ X2) = \ frac {1} {2-p}P(X1>X2)1P(X1=X2)21p2p
P(X1=X2)=p2pP(X1X2)12p

Est-ce correct?

IrCa
la source
3
Veuillez ajouter la balise «self-study».
StubbornAtom
1
En fait, parce que X1et X2sont des variables discrètes, l'égalité rend les choses un peu moins évidentes.
usεr11852

Réponses:

13

Ce ne peut pas être car50%P(X1=X2)>0

Une approche:

Considérez les trois événements et , qui partitionnent l'espace échantillon.P(X1>X2),P(X2>X1)P(X1=X2)

Il y a un lien évident entre les deux premiers. Écrivez une expression pour la troisième et simplifiez. Résolvez donc la question.

Glen_b -Reinstate Monica
la source
J'ai édité mon message avec ma nouvelle réponse. Pourriez-vous jeter un œil et voir si c'est correct?
IrCa
1
Oui, vos réponses semblent correctes. Une méthode alternative (utilisant une idée similaire) serait de noter que (encore une fois, en exploitant la symétrie / de et ). X1X2P(X1X2)=12+12P(X1=X2)X1X2
Glen_b -Reinstate Monica
6

Votre réponse, suivant la suggestion de Glen, est correcte. Une autre façon, moins élégante, est juste de conditionner:

Pr{X1X2}=k=0Pr{X1X2X2=k}Pr{X2=k}=k=0=kPr{X1=}Pr{X2=k}.

Cela vous donnera le même , après avoir manipulé les deux séries géométriques. La voie de Glen est meilleure.1/(2p)

Zen
la source
4
note - votre façon de faire est meilleure pour appliquer de nouveaux problèmes, je pense. Parce qu'il est basé sur les premiers principes. L'astuce / intuiton de la réponse de glen_b survient généralement après que le problème a été résolu à votre façon
probabilités
3
@probabilityislogic Je partage votre enthousiasme pour les dérivations des "premiers principes". Cependant, pour un mathématicien moderne, rechercher et exploiter la symétrie est encore plus fondamental que les premiers principes (définitions) auxquels vous vous référez: nous pourrions l'appeler un méta - principe des mathématiques. C'est bien plus qu'un simple "truc".
whuber