Distribution de la somme des exponentielles

Soit et des variables aléatoires exponentielles indépendantes et identiquement distribuées avec rate . Soit .$X_1$$X_2$$\lambda$$S_2 = X_1 + X_2$

Q: Montrez que a PDF .$S_2$$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x},\, x\ge 0$

Notez que si des événements se sont produits selon un processus de Poisson (PP) avec un taux , représenterait l'heure du 2e événement.$\lambda$$S_2$

Des approches alternatives sont appréciées. Les approches fournies sont couramment utilisées lors de l'apprentissage de la théorie des files d'attente et des processus stochastiques.

Rappelons que la distribution exponentielle est un cas particulier de la distribution Gamma (avec le paramètre de forme ). J'ai appris qu'il existe une version plus générale de cela ici qui peut être appliquée.$1$

Conditionnement
Condition sur la valeur de$X_1$. Commencez avec la fonction de distribution cumulative (CDF) pour$S_2$.

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= \int_0^\infty P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_2 \le x - x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x\left(1-\text{e}^{-\lambda(x-x_1)}\right)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1\\ &=(1-e^{-\lambda x}) - \lambda x e^{-\lambda x}\end{align}$

Il s'agit du CDF de la distribution. Pour obtenir le PDF, différenciez par rapport à$x$( voir ici ).

Ceci est un Erlang$(2,\lambda)$distribution (voir ici) .

Approche générale
Intégration directe reposant sur l'indépendance des$X_1$ & $X_2$. Encore une fois, commencez par la fonction de distribution cumulative (CDF) pour$S_2$.

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= P\left( (X_1,X_2)\in A \right) \quad \quad \text{(See figure below)}\\ &= \int\int_{(x_1,x_2)\in A} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)dx_1 dx_2 \\ &(\text{Joint distribution is the product of marginals by independence}) \\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_1 dx_2\\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} \lambda \text{e}^{-\lambda x_1}\lambda \text{e}^{-\lambda x_2}dx_1 dx_2\\ \end{align}$

Puisque c'est le CDF, la différenciation donne le PDF, $f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

Approche MGF
Cette approche utilise la fonction de génération de moment (MGF).

$\begin{align} M_{S_2}(t) &= \text{E}\left[\text{e}^{t S_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t(X_1 + X_2)}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1 + t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1} \text{e}^{t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1}\right]\text{E}\left[\text{e}^{t X_2}\right] \quad \text{(by independence)} \\ &= M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \quad t<\lambda\\ &= \frac{\lambda^2}{(\lambda-t)^2} \quad \quad t<\lambda \end{align}$

While this may not yield the PDF, once the MGF matches that of a known distribution, the PDF also known.