Quand, si jamais une statistique médiane est une statistique suffisante?

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Je suis tombé sur une remarque sur The Chemical Statistician selon laquelle une médiane d'échantillon pourrait souvent être un choix pour une statistique suffisante mais, outre le cas évident d'une ou deux observations où elle est égale à la moyenne de l'échantillon, je ne peux pas penser à une autre non triviale et iid cas où la médiane de l'échantillon est suffisante.

Xi'an
la source
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Vouliez-vous écrire «qu'un échantillon médian pourrait souvent être»?
Juho Kokkala
8
C'est une question intéressante; la double exponentielle a la médiane d'un estimateur ML de son paramètre de localisation, mais ce n'est pas suffisant.
Glen_b -Reinstate Monica

Réponses:

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Dans le cas où le support de la distribution ne dépend pas du paramètre inconnu θ, on peut invoquer le théorème de (Fréchet-Darmois-) Pitman-Koopman , à savoir que la densité des observations est nécessairement de la forme de famille exponentielle, pour conclure que, étant donné que la statistique suffisante naturelle S = n i = 1 T ( x i ) est également suffisamment minimale, la médiane doit être fonction de S

exp{θT(X)-ψ(θ)}h(X)
S=je=1nT(Xje)
S, ce qui est impossible: modifier un extrême dans les observations , n > 2 , modifie S mais ne modifie pas la médiane.X1,,Xnn>2S

F(X|θ)=h(X)jeUNEθ(X)τ(θ)
UNEθF
je=1njeUNEθ(Xje)
je=1njeUNEθ(Xje)=jeBθn(med(X1:n))
Xn+1
jeBθn+1(med(X1:n+1))=jeBθn(med(X1:n))×jeUNEθ(Xn+1)
Xi'an
la source
Bθn
C'est le support de la médiane.
Xi'an