Quelle est la valeur attendue du logarithme de la distribution gamma?

Si la valeur attendue de est , quelle est la valeur attendue de ? Peut-il être calculé analytiquement?$\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$$\frac{\alpha}{\beta}$$\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

Le paramétrage que j'utilise est le taux de forme.

Celui-ci (peut-être surprenant) peut être fait avec des opérations élémentaires faciles (en utilisant l'astuce préférée de Richard Feynman pour différencier sous le signe intégral par rapport à un paramètre).

---

Nous supposons que a une distribution et nous souhaitons trouver l'espérance de Tout d'abord, parce que est un paramètre d'échelle, son effet sera de déplacer le logarithme de (Si vous utilisez comme paramètre de débit , comme dans la question, cela changera le logarithme de ) Cela nous permet de travailler avec le cas$X$$\Gamma(\alpha,\beta)$$Y=\log(X).$$\beta$log β . β - log β . β = 1.$\log\beta.$$\beta$$-\log\beta.$$\beta=1.$

Après cette simplification, l'élément de probabilité de est$X$

$$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

où est la constante de normalisation$\Gamma(\alpha)$

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$$

La substitution de qui implique donne l'élément de probabilité de ,$x=e^y,$$\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$$Y$

$$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$$

Les valeurs possibles de s'étendent maintenant sur tous les nombres réels$Y$$\mathbb{R}.$

Parce que doit s'intégrer à l'unité, nous obtenons (trivialement)$f_Y$

$$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$$

Remarquez que est une fonction différenciable deUn calcul simple donne$f_Y(y)$$\alpha.$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$$

L'étape suivante exploite la relation obtenue en divisant les deux côtés de cette identité par exposant ainsi l'objet même que nous devons intégrer pour trouver l'attente; à savoir,$\Gamma(\alpha),$$y f_Y(y):$

$$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$$

la dérivée logarithmique de la fonction gamma (alias " polygamma "). L'intégrale a été calculée à l'aide de l'identité$(1).$

La réintroduction du facteur montre que le résultat général est$\beta$

$$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$$

pour un paramétrage d'échelle (où la fonction de densité dépend de ) ou$x/\beta$

$$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$$

pour un paramétrage de taux (où la fonction de densité dépend de ).$x\beta$

La réponse de @whuber est plutôt sympa; Je vais essentiellement reformuler sa réponse sous une forme plus générale qui se rattache (à mon avis) mieux à la théorie statistique, et qui met en évidence la puissance de la technique globale.

Considérons une famille de distributions qui constituent une famille exponentielle , ce qui signifie qu'elles admettent une densité par rapport à une mesure dominante commune (généralement, Lebesgue ou mesure de comptage). En différenciant les deux côtés de par rapport à nous arrivons à l' équation de score où est la fonction de score$\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

$$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$$
$$\int f_\theta(x) \ dx = 1$$ $\theta$ $$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$$ $u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$et nous avons défini . Dans le cas d'une famille exponentielle, nous avons où ; on l'appelle parfois la fonction cumulante , car elle est évidemment très étroitement liée à la fonction génératrice de cumulants. Il résulte maintenant de que .$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ $$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$$ $A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$$(\dagger)$$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

Nous montrons maintenant que cela nous aide à calculer l'attente requise. Nous pouvons écrire la densité gamma avec fixe comme une famille exponentielle Il s'agit d'une famille exponentielle dans seul avec et . Il suit maintenant immédiatement en calculant que $\beta$

$$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$$ $\alpha$$s(x) = \log x$$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$ $$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$$