Valeur attendue et variance de la fonction de trace

Pour les variables aléatoires et une matrice semi-définie positive A : existe-t-il une expression simplifiée pour la valeur attendue, E [ T r ( X T A X ) ] et la variance, V a r [ T r ( X T A X ) ] ? Veuillez noter que A n'est pas une variable aléatoire.$X \in \mathbb{R}^h$$A$$\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$$Var[Tr(X^TAX)]$$A$

Puisque $X^TAX$ est un scalaire,

$$\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$$ sorte que $$\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}(\text{E} (A XX^T)) = \text{Tr}(A\text{E}(XX^T))$$ .

Ici, nous avons utilisé que la trace d'un produit est invariante sous les permutations cycliques des facteurs, et que la trace est un opérateur linéaire, commute donc avec l'attente. La variance est un calcul beaucoup plus impliqués, qui ont besoin aussi des moments plus élevés de $X$ . Ce calcul peut être trouvé dans Seber: "Linear Regression Analysis" (Wiley)