De la théorie de la statistique par Mark J. Schervish (page 12):
Bien que le théorème de représentation 1.49 de DeFinetti soit essentiel à la motivation des modèles paramétriques, il n'est pas réellement utilisé dans leur mise en œuvre.
Comment le théorème est-il au cœur des modèles paramétriques?
Réponses:
Le théorème de représentation de De Finetti donne en une seule prise, dans l'interprétation subjectiviste des probabilités, la raison d'être des modèles statistiques et la signification des paramètres et de leurs distributions antérieures.
Supposons que les variables aléatoires représentent les résultats de lancements successifs d'une pièce de monnaie, les valeurs et correspondant respectivement aux résultats "Têtes" et "Queues". En analysant, dans le contexte d’une interprétation subjectiviste du calcul des probabilités, le sens du modèle fréquentiste habituel sous lequel les sont indépendants et distribués de manière identique, De Finetti a fait observer que la condition d’indépendance impliquerait, par exemple, que et, par conséquent, des résultats du premier lancers ne changerait pas mon incertitude sur le résultat de 1X1,…,Xn 1 X i P { X n = x n ∣ X 1 = x 1 , … , X n - 1 = x n - 1 } = P { X n = x n }0 Xi N - 1 n a priori 999 1 / 2 X i
Cette observation a conduit De Finetti à introduire une condition plus faible que l'indépendance qui résout cette contradiction apparente. La solution de De Finetti repose sur une sorte de symétrie de répartition connue sous le nom d’échange.
{ X i } n i = 1 μ X 1 , … , X n μ X 1 , … , X n = μ X π ( 1 ) , … , X π ( n ) π : { 1 , … , n } → { 1 , … , n } { X iDefinition. Pour un ensemble fini donné d'objets aléatoires, notons leur distribution conjointe. Cet ensemble fini est échangeable si , pour chaque permutation . Une séquence d'objets aléatoires est échangeable si chacun de ses sous-ensembles finis est échangeable.{Xi}ni=1 μX1,…,Xn μX1,…,Xn=μXπ(1),…,Xπ(n) π:{1,…,n}→{1,…,n} {Xi}∞i=1
En supposant seulement que la séquence de variables aléatoires soit échangeable, De Finetti s'est révélé être un théorème remarquable qui éclaire la signification des modèles statistiques couramment utilisés. Dans le cas particulier où les prennent les valeurs et , le théorème de représentation de De Finetti dit que est échangeable si et seulement s'il existe une variable aléatoire , avec la distribution , telle que dans lequel . De plus, nous avons cela{Xi}∞i=1 Xi 0 1 {Xi}∞i=1 Θ:Ω→[0,1] μΘ
Ce théorème de représentation montre comment les modèles statistiques émergent dans un contexte bayésien: sous l'hypothèse de la possibilité d'échangabilité des observables , un tels que, étant donné la valeur de , les éléments observables sont indépendants et distribués de manière identique. De plus, la loi de De Finetti Strong montre que notre opinion antérieure sur le non observable , représentée par la distribution , est l'opinion sur la limite de , avant que nous ayons des informations sur les valeurs des réalisations de l'un des{Xi}∞i=1 there is parameter Θ Θ conditionally Θ μΘ X¯n Xi 's Le paramètre joue le rôle d’une construction subsidiaire utile, ce qui nous permet d’obtenir des probabilités conditionnelles n’impliquant que des observables via des relations telles que
Θ
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Tout est mathématiquement correct dans la réponse de Zen. Cependant, je ne suis pas d'accord sur certains points. S'il vous plaît soyez conscient que je ne prétends pas / crois que mon point de vue est le bon; au contraire, j'estime que ces points ne sont pas encore tout à fait clairs pour moi. Ce sont des questions quelque peu philosophiques sur lesquelles j'aime discuter (et un bon exercice d'anglais pour moi), et je suis également intéressé par tout conseil.
A propos de l'exemple avec "Têtes", le commentaire Zen: "l'hypothèse d'indépendance des impliquerait qu'il est impossible d'apprendre quoi que ce soit sur la pièce en observant les résultats de ses lancers." Ce n'est pas vrai du point de vue fréquentiste: apprendre la pièce signifie apprendre à propos de , ce qui est possible en estimant (estimation ponctuelle ou intervalle de confiance) partir des résultats précédents . Si le fréquentiste observe "Têtes", il conclut que est probablement proche de , et donc conséquence.999 Xi θ θ 999 999 θ 1 Pr(Xn=1)
Au fait, dans cet exemple de tirage au sort, quel est le caractère aléatoire ? Imaginant chacune des deux personnes jouant un jeu de pièces de monnaie un nombre infini de fois avec la même pièce, pourquoi trouveraient-elles un ? Je pense que la caractéristique du tirage au sort est le fixe, qui est la valeur commune de pour tout joueur ("presque n'importe quel joueur" pour des raisons mathématiques théoriques). Un exemple plus concret pour lequel il n'y a pas d'interprétation aléatoire aléatoire est le cas d'un échantillonnage aléatoire avec remplacement dans une population finie de et .Θ θ=X¯∞ θ X¯∞ Θ 0 1
À propos du livre de Schervish et de la question soulevée par le PO, je pense que Schervish signifie (rapidement) que l'échangeabilité est une hypothèse «cool» et que le théorème de DeFinetti est «cool» car il dit que chaque modèle échangeable a une représentation paramétrique. Bien sûr je suis totalement d'accord. Cependant, si je suppose un modèle échangeable tel que et alors je serais intéressé à faire des inférences sur et , pas sur la réalisation de . Si je ne suis intéressé que par la réalisation de alors je ne vois aucun intérêt à assumer l’échange.(Xi∣Θ=θ)∼iidBernoulli(θ) Θ∼Beta(a,b) a b Θ Θ
Il est tard...
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O'Neill, B. (2011) Échangeabilité, corrélation et effet Bayes. Revue internationale de statistique 77 (2), p. 241-250.
Cet article discute du théorème de représentation en tant que base des modèles IID bayésien et fréquentiste, et l'applique également à un exemple de lancer de pièces. Cela devrait éclaircir la discussion sur les hypothèses du paradigme fréquentiste. Il utilise en fait une extension plus large du théorème de représentation allant au-delà du modèle binomial, mais il devrait quand même être utile.
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