Point technique sur la convergence avec l'attente conditionnelle

J'ai une séquence de variables non négatives telles que: $X_n$

$$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$$

où est une séquence de variables aléatoires convergeant presque sûrement vers .$C_n$$1$

Puis-je conclure que tend à 0 presque sûrement?$X_n$

Remarque: vous pouvez remplacer par n'importe quelle séquence à somme finie. La question reste essentiellement la même et la réponse apportée par Jason fonctionne de la même manière (voir l'argument Borel-Cantelli).$\frac{1}{n^2}$

Oui, presque sûrement. $X_{n} \to 0$L'argument que j'ai est un peu compliqué, alors restez avec moi.

Considérons d'abord les événements . Par la convergence presque sûre du il s'ensuit que , et puisque nous avons . Il suffit donc de montrer que comme dans , pour tout .$F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$$C_{n}$$P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$$F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$$P(F_{k}) \to 0$$X_{n} \to 0$$F_{k}^{c}$$k$

Fixez maintenant un et un . En utilisant la notation pour représenter , nous avons pour C'est en quelque sorte l'élément clé. (Notez également que nous avons utilisé la non négativité de dans la première étape, pour passer de à l'événement plus grand ) À partir d'ici, nous avons juste besoin de quelques arguments théoriques assez courants.$k$$\varepsilon > 0$$E[X; A]$$E[X 1_{A}]$$n \geq k$

$$\begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation}$$ $X_{n}$$F_{k}^{c}$$C_{n} \leq 2$

La borne ci-dessus, avec la non négativité de , implique que (pour ), de sorte que $X_{n}$$P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$$n \geq k$

$$\begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}$$

Par le lemme de Borel-Cantelli, nous pouvons maintenant dire que l'événement a une probabilité nulle. Puisque était arbitraire, cela nous amène comme sur .

$$\begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation}$$ $\varepsilon$$X_{n} \to 0$$F_{k}^{c}$

Définissez . Alors et . Par l'inégalité de Markov, qui a une somme finie, donc par Borel Cantelli, et presque sûrement.$Z_n=X_n/C_n$$E[Z_n]=1/n^2$$Z_n\ge 0$$P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$$P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$$Z_n\to 0$

Si presque sûrement et presque sûrement alors presque sûrement.$Z_n\to0$$C_n\to 1$$X_n=Z_nC_n\to 0$