Variance des résistances en parallèle

Supposons que vous ayez un ensemble de résistances R, qui sont toutes distribuées avec la moyenne μ et la variance σ.

Considérons une section d'un circuit avec la disposition suivante: (r) || (r + r) || (r + r + r). La résistance équivalente de chaque partie est r, 2r et 3r. La variance de chaque section serait alors $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ .

Quelle est la variance de la résistance de l'ensemble du circuit?

Après avoir échantillonné plusieurs millions de points, nous avons constaté que la variance est d'environ $.10286\sigma^2$ .

Comment arriverions-nous à cette conclusion analytiquement?

Edit: Les valeurs de résistance sont supposées être normalement distribuées avec une résistance moyenne r et une variance $σ^2$ .

La résistance équivalente de l'ensemble du circuit résout On suppose que , pour certaines variables aléatoires indépendantes , centrées et de variance .$R$

$$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$$ $R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$$Z_i$$1$

Sans autre indication, on ne peut pas calculer la variance de , donc, pour aller plus loin, on considère le régime où Ensuite, donc où On voit que De plus, Ainsi, dans la limite$R$

$$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$$ $$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$$ $$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$$ $$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$$ $$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$$ $$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$$ $\sigma\to0$, et Ces asymptotiques de et peuvent être généralisés à n'importe quel nombre de résistances en parallèle, chacune étant le résultat de résistances élémentaires en série, les résistances élémentaires étant indépendantes et chacune ayant une moyenne et une variance . Ensuite, lorsque , où $$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$$ $$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$$ $\mathrm E(R)$$\text{Var}(R)$$n_i$$\mu$$\sigma^2$$\sigma\to0$ $$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$$ $$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$$

Je ne pense pas que la réponse exacte dépende uniquement de et . Lorsque vous avez échantillonné, je suppose que vous devez avoir utilisé une distribution concrète - probablement une distribution normale? Dans tous les cas, nous pouvons calculer la moyenne et la variance de la résistance du circuit en approximation linéaire, puis la forme exacte de la distribution est sans importance.$\mu$$\sigma^2$

La résistance du circuit est . En approximation linéaire, la moyenne et la variance de l'inverse d'une variable aléatoire avec la moyenne et la variance sont respectivement et . Nous avons donc une somme de termes avec les moyennes , et et les variances , et , respectivement, ce qui donne une moyenne de et une variance de$\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$$\mu$$\sigma^2$$1/\mu$$\sigma^2/\mu^4$$1/\mu$$1/(2\mu)$$1/(3\mu)$$\sigma^2/\mu^4$$\sigma^2/(8\mu^4)$$\sigma^2/(27\mu^4)$$\frac{11}6/\mu$$\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$. La prise de l'inverse de cela donne une moyenne de et une variance de , en accord avec votre résultat.$\frac6{11}\mu$$\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

Cela dépend de la forme de la distribution de la résistance. Sans connaître la répartition, je ne peux même pas dire la résistance moyenne, même si je pense qu'il y a des contraintes.

Alors, prenons une distribution qui est traitable: Soit l'écart type de la résistance d'une résistance. Soit la résistance , chaque signe apparaissant avec une probabilité . Cela nous donne cas à considérer, ou si nous combinons certains cas. Bien sûr, nous supposerons que les résistances sont indépendantes.$s$$\mu \pm s$$1/2$$2^6 = 64$$2 \times 3 \times 4=24$

Si nous choisissons et la moyenne est (légèrement inférieure à ), et la variance est de . Si nous choisissons et , alors la variance est de .$\mu = 100$$s=1$$54.543291$$100 \times \frac{6}{11}$$0.102864$$\mu = 5$$s=1$$0.103693$

Voici une extension de la série de puissances pour les rapports entre les variances lorsque la moyenne est et la variance est : . Lorsque est petit, le terme dominant est .$1$$x$$\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$$x$$\frac{1506}{14641} = 0.102862$

Bien que la question que vous posiez dépende techniquement de la distribution, vous êtes probablement intéressé par des situations où l'écart-type est faible par rapport à la moyenne, et je pense qu'il existe une limite bien définie qui ne dépend pas de la distribution. Linéariser la dépendance de la résistance du circuit en fonction des résistances de chaque pièce:

$$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$$

$$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$$

$$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$$

Avec ce circuit spécifique, les dérivées partielles mises à l'échelle sont et$\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

$$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$$

Je préviens que, comme je l'ai raisonné, c'est une longue réponse , mais peut-être que quelqu'un peut trouver quelque chose de mieux à partir de ma tentative (qui n'est peut-être pas optimale). De plus, j'ai mal lu la question OP d'origine et j'ai pensé qu'elle disait que les résistances étaient normalement distribuées. Je vais quand même laisser la réponse, mais c'est une supposition sous-jacente.

1. Raisonnement physique du problème

Mon raisonnement est le suivant: rappelons que, pour les résistances qui sont en parallèle, la résistance équivalente est donnée par:$R_{eq}$

$$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$$

où sont les résistances de chaque partie du circuit. Dans votre cas, cela nous donne$R_i$

$$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$$ où est la partie du circuit avec 1 résistance, et a donc une distribution normale avec la moyenne et la variance , et par le même raisonnement est le la résistance équivalente de la partie du circuit à deux résistances et, enfin, est la résistance équivalente de la partie du circuit à trois résistances. Vous devez trouver la distribution de et en obtenir la variance.$R_1$$\mu$$\sigma^2$$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$$R_{eq}$

2. Obtention de la distribution de$R_{eq}$

Une façon de trouver la distribution est de noter que: À partir d'ici, nous notons également que nous pouvons écrire (qui a été obtenu via le théorème de Bayes), qui, en supposant l'indépendance entre , et (qui est physiquement plausible), peut s'écrire Remplacer cela dans et noter qu'une autre conséquence de l'indépendance entre les trois résistances est que

$$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$$ $$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$$ $R_1$$R_2$$R_3$ $$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$$ $(1)$$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$on obtient: Notre dernier problème est alors de trouver , c'est-à-dire la distribution de la rv . Ce problème est analogue à celui que nous avons trouvé ici, sauf que maintenant vous remplacez dans l'eq. par une constante, disons . En suivant les mêmes arguments que ci-dessus, vous pouvez trouver que Apparemment, le reste est remplacement des distributions connues, sauf pour un petit problème: la distribution de peut être obtenue à partir de en notant que $$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$$ $p(R_{eq}|R_3)$$R_{eq}|R_3$$R_3$$(*)$$r_3$ $$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$$ $R_{eq}|R_2,R_3$$(*)$$X_1$ est gaussien, donc, vous devez essentiellement trouver la distribution de la variable aléatoire où et sont des constantes, et est gaussien avec une moyenne et une variance . Si mes calculs sont corrects, cette distribution est: où, donc la distribution de serait $$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$$ $a$$b$$X$$\mu$$\sigma^2$ $$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$$ $$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$$ $R_{eq}|R_2,R_3$ $$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$$ où et . Le fait est que je ne sais pas si cela est traitable analytiquement afin de résoudre l'intégrale dans l'équation , ce qui nous conduira alors à résoudre le problème en remplaçant son résultat dans l'équation . Du moins pour moi à cette heure de la nuit, ce n'est pas le cas.$a=1/R_2$$b=1/R_3$$(3)$$(2)$