Comment aurais-je pu découvrir la distribution normale?

16

Quelle a été la première dérivation de la distribution normale, pouvez-vous reproduire cette dérivation et également l' expliquer dans son contexte historique ?

Je veux dire, si l'humanité oublie la distribution normale, quelle est la façon la plus probable de la redécouvrir et quelle serait la dérivation la plus probable? Je suppose que les premières dérivations doivent provenir d'un sous-produit de la recherche de moyens rapides pour calculer les distributions de probabilité discrètes de base, telles que les binômes. Est-ce exact?

probability distributions normal-distribution references history statslearner
la source

2

Ce n'est pas très difficile de trouver des distributions de probabilité: prenez n'importe quelle fonction intégrable positive, normalisez-la, et vous avez donc une densité de probabilité. Maintenant, si vous voulez faire une inférence basée sur la vraisemblance avec une famille de distributions, vous avez besoin que le logarithme de la densité soit une simple fonction convexe. Plus précisément, si vous voulez la probabilité maximale de minimiser une fonction de perte convexe donnée, alors l'exponentielle de cette perte est un choix approprié de densité. L'erreur quadratique donne naissance à la distribution normale et pourrait être l'exemple le plus simple d'une perte convexe.

Olivier

1

@Olivier, ce n'est pas parce que vous pouvez facilement inventer une distribution de probabilité qu'elle est utile ou qu'elle apparaît partout. La découverte de la distribution gaussienne est liée à la résolution de problèmes réels, je suppose, pas seulement à la normalisation d'une fonction.

statslearner

2

Il y a déjà un certain nombre de questions et réponses qui se rapportent à cette histoire, qui peuvent répondre ou répondre en partie à votre question.

Glen_b -Reinstate Monica

2

La section de Wikipedia sur l'histoire en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#History mérite d'être lue. La conclusion que j'en tire est que la priorité ici est, comme si souvent, une question de différend international. Vous pouvez faire votre choix parmi De Moivre, Laplace, Gauss, ...

mdewey

2

Jetez un coup d' oeil une question ici et la réponse par @Glen_b stats.stackexchange.com/questions/227034/...~~V~~singular~~3rd Je suppose que d' une façon de la façon dont vous pouvez retrouver la distribution normale est en prenant des mesures et en rendre compte qu'il ya une incertitude / erreur associée avec votre mesure, c'est-à-dire que si vous répétez vos mesures encore et encore, le résultat ne sera pas 100% identique. Ensuite, vous souhaitez quantifier l'incertitude / l'erreur. Et puis vous avez besoin d'un peu de calcul :) La référence Stahl vaut également la peine d'être lue!

Stefan

7

Je suppose que les premières dérivations doivent provenir d'un sous-produit de la recherche de moyens rapides pour calculer les distributions de probabilité discrètes de base, telles que les binômes. Est-ce exact?

Oui.

La courbe normale a été développée mathématiquement en 1733 par DeMoivre comme approximation de la distribution binomiale . Son article n'a été découvert qu'en 1924 par Karl Pearson. Laplace a utilisé la courbe normale en 1783 pour décrire la distribution des erreurs. Par la suite, Gauss a utilisé la courbe normale pour analyser les données astronomiques en 1809.

Source: DISTRIBUTION NORMALE

Autres sources avec contexte historique:

$n$ $e^x=\lim(1+\frac{x}{n})^n$ $-\frac{t^2}{2}$

Benoit Sanchez
la source

Benoit, la dérivation de DeMoivre ne semble pas élémentaire, pourriez-vous l'inclure dans votre réponse?. Cette dérivation DeMoivre est quelque chose que je recherche (en passant, savez-vous si tous les résultats de calcul et d'approximations - approximation de Stirlings par exemple - étaient déjà disponibles pour DeMoivre, ou est-ce une version moderne de sa preuve?)

statslearner

1

C'est une version moderne. Je ne connais pas la dérivation historique de DeMoire. La seule information historique que j'ai est l'article pointé par Stephan et moi.

Benoit Sanchez

6

Stahl ("L'évolution de la distribution normale", Mathematics Magazine , 2006) soutient que les premières traces historiques de la normale proviennent du jeu, des approximations des distributions binomiales (pour la démographie) et de l'analyse des erreurs en astronomie.

S. Kolassa - Rétablir Monica
la source

4

Oui, mais dans la plupart (tous?) De ces cas, la distribution normale n'était pas explicite. Cela ressemble un peu à la conclusion que Ben Franklin connaissait (ou a inventé) les équations de Maxwell parce qu'il a expérimenté l'électricité.

whuber

Pourriez-vous fournir les dérivations de ces auteurs?

statslearner

Par exemple, de quelles mathématiques avaient-ils besoin pour le dériver?

statslearner

3

La partie historique de la question a déjà reçu plusieurs réponses sur ce forum, par exemple voir la réponse acceptée à une question similaire. Non, il n'a pas été découvert comme une approximation de distributions discrètes. Je doute qu'il y ait même eu une notion de distribution de probabilité à l'époque. Il a été découvert par des gars qu'on appelle des physiciens ou des mathématiciens de nos jours, je suppose des philosophes de la nature à l'époque.

Comment une autre civilisation découvrirait-elle la distribution normale est une question intéressante. Quiconque étudie les erreurs et les perturbations de toute nature l'aurait trouvé. Cela s'est produit pour que notre civilisation le trouve en étudiant les corps célestes. Je doute qu'il soit probable que d'autres humains développeraient des statistiques avant la physique ou les mathématiques.

Aksakal
la source

2

Je me suis aussi posé cette question et cette vidéo youtube est la meilleure réponse que j'ai trouvée

https://www.youtube.com/watch?v=cTyPuZ9-JZ0

Je ne pense pas que ce soit la dérivation d'origine, mais la description de la vidéo dit "Cet argument est adapté du travail de l'astronome John Herschel en 1850 et du physicien James Clerk Maxwell en 1860".

Sébastien
la source

1

La particularité de la distribution normale est la théorie de la limite centrale. Pour les détails et la dérivation / preuve, voir: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

elliotp
la source

11

Cela ne répond pas à la question.

whuber

1

Le sujet de la question est: Comment aurais-je pu découvrir la distribution normale? et la réponse répond certainement à cela.

G. Grothendieck

1

Il est difficile d'analyser cette question. Qui est le "je" dans cette question? Et quelle est l'heure en question? Une réponse presque triviale consiste à trouver une famille de lieux / échelles $\propto \exp(-x^2)$ . Le PO demande ensuite "Si l'humanité oublie la distribution normale, de quelle manière serait-elle redécouverte"? C'est une question tout à fait différente. Je pense qu'une réponse pertinente ici est celle qui 1) emprunte la perspective de la science moderne 2) fournit une réponse qui est différente de la réponse historique la plus fréquemment rencontrée, alias le Central Limit Theorym.

En mécanique quantique, en théorie de l'information et en thermodynamique, l'entropie quantifie l'état d'un système. Dans ces domaines, l'état quantique est en fait entièrement aléatoire ou stochastique. Comparez cela avec la mécanique classique. En mécanique classique, les états sont fixes mais notre observation est imparfaite en raison de l'apport de centaines ou de millions de facteurs d'influence non observés: ce type de résultat donne naissance au CLT.

En mécanique quantique, nous utilisons la probabilité bayésienne pour quantifier notre croyance sur l'état du système. Le long de ces lignes, des preuves ont été présentées, et ajustées, que la variable aléatoire gaussienne ou normale a une entropie maximale parmi toutes les variables aléatoires à moyenne finie ou écart-type.

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Maximum_Entropy_Property_Gaussian.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_entropy

http://bayes.wustl.edu/etj/articles/brandeis.pdf

AdamO
la source

Comment aurais-je pu découvrir la distribution normale?

Réponses: