J'ai eu une question étrange lorsque je testais des optimisations convexes. La question est:
Supposons que je génère aléatoirement (par exemple, une distribution normale standard) une matrice symétrique ((par exemple, je génère une matrice triangulaire supérieure et je remplis la moitié inférieure pour s'assurer qu'elle est symétrique), quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une définition positive matrice? Est-il possible de calculer la probabilité?
Réponses:
Si vos matrices sont tirées d’entrées iid normales normales, la probabilité d’être positive-définie est d’environ , ainsi, par exemple, si , la probabilité est de 1/1000, et descend assez vite par la suite. Vous pouvez trouver une discussion prolongée de cette question ici .pN≈ 3- N2/ 4 N= 5
Vous pouvez comprendre cette réponse en acceptant que la distribution des valeurs propres de votre matrice sera approximativement du demi - cercle de Wigner , ce qui est symétrique par rapport à zéro. Si les valeurs propres étaient toutes indépendantes, vous auriez une chance de définition positive par cette logique. En réalité, vous obtenez un comportement , tous deux dus à des corrélations entre les valeurs propres et les lois régissant les grands écarts des valeurs propres, en particulier les plus petites et les plus grandes. Plus précisément, les valeurs propres aléatoires s'apparentent beaucoup à des particules chargées et n'aiment pas être proches les unes des autres. Elles se repoussent donc (étrangement avec le même champ potentiel que les particules chargées, , où( Une / deux )N N2 ∝1/r r est la distance entre les valeurs propres adjacentes). Leur demander d'être tous positifs serait donc une très grande demande.
De plus, en raison des lois d'universalité dans la théorie des matrices aléatoires, je soupçonne fortement que la probabilité ci-dessus, sera probablement la même pour pratiquement toute matrice aléatoire "raisonnable", avec des entrées iid ayant une moyenne finie et un écart-type.pN
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