Ce qui est plus élevé,

J'ai donc eu un test de probabilité et je ne pouvais pas vraiment répondre à cette question. Il a juste demandé quelque chose comme ceci:

"En considérant que est une variable aléatoire, 0 , utilisez l'inégalité correcte pour prouver ce qui est supérieur ou égal, E (X ^ 2) ^ 3 ou E (X ^ 3) ^ 2 .$X$$X$ $\geqslant$ $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

La seule chose que je pouvais penser était l'inégalité de Jensen, mais je ne sais pas vraiment comment l'appliquer ici.

Cela peut en effet être prouvé par l'inégalité de Jensen.

Astuce : Notez que pour la fonction est convexe dans (C'est là que vous utilisez l'hypothèse ). Alors l'inégalité de Jensen donne et pour , c'est le dans l'autre sens.$\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

Maintenant, transformez les variables en quelque chose de comparable et trouvez le approprié .$\alpha$

L'inégalité de Lyapunov (voir: Casella et Berger, inférence statistique 4.7.6):

Pour : E [ | X | r ] $1 < r < s < \infty$

Preuve :

Par l'inégalité de Jensens pour convexe :ϕ ( E X ) ≤ E [ ϕ ( x ) $\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Considérons , puis où ( E [ Y ] ) t ≤ E [ Y t ] Y = | X | $\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

Remplacez : (E[|X|r])$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

En général pour cela implique:$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Supposons que X ait une distribution uniforme sur [0,1] puis E (X ) = et donc E (X ) = et E ( X ) = donc E (X ) = . Donc dans ce cas E (X ) > E (X ) . Pouvez-vous généraliser cela ou trouver un contre-exemple?$^2$ 23$\frac{1}{3}$$^2$$^3$ 3$\frac{1}{27}$$^3$ 32$\frac{1}{4}$$^3$$^2$ 322$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$