Supposons que est distribué de manière exponentielle non centrale avec l'emplacement et le taux . Alors, qu'est-ce que .k λ E ( log ( X ) )
Je sais que pour , la réponse est où est la constante d'Euler-Mascheroni. Et quand ?- log ( λ ) - γ γ k > 0
mean
expected-value
integral
Neil G
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Assumptions
Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]
. Vous pouvez simplement le copier et le coller sur un fichier .nb. Je ne sais pas si le Wolfram Alpha permet d'inclure des restrictions.Réponses:
L'intégrale souhaitée peut être combattue dans la soumission par des manipulations par force brute; ici, nous essayons plutôt de donner une dérivation alternative avec une saveur légèrement plus probabiliste.
Soit une variable aléatoire exponentielle non centrale avec le paramètre d'emplacement et le paramètre de taux . Alors où .k > 0 λ X = Z + k Z ∼ E x p ( λ )X∼ E x p ( k , λ ) k > 0 λ X= Z+ k Z∼ E x p ( λ )
Notez que et ainsi, en utilisant un fait standard pour calculer l'espérance des variables aléatoires non négatives , Mais, sur depuis et ainsi où la dernière égalité découle de la substitutionE log ( X / k ) = ∫ ∞ 0 P ( log ( X / k ) > z )Journal( X/ k)≥0 P ( Z > k ( e z - 1 ) ) = exp ( - λ k ( e z - 1 ) ) z ≥ 0 Z ∼ E x p ( λ ) E log ( X / k ) = e λ k ∫ ∞ 0 exp ( - λ k e z )
L'intégrale sur la taille de droite du dernier écran est juste par définition et donc comme confirmé par le calcul Mathematica de @ Procrastinator dans les commentaires de la question.Γ ( 0 , λ k )
NB : La notation équivalente est également souvent utilisée à la place de .E1( x ) Γ ( 0 , x )
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