Valeur journal attendue de la distribution exponentielle non centrale

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Supposons que est distribué de manière exponentielle non centrale avec l'emplacement et le taux . Alors, qu'est-ce que .k λ E ( log ( X ) )XkλE(Journal(X))

Je sais que pour , la réponse est où est la constante d'Euler-Mascheroni. Et quand ?- log ( λ ) - γ γ k > 0k=0-Journal(λ)-γγk>0

Neil G
la source
Avez-vous essayé de vous intégrer à Mathematica?
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Je suppose que (lorsque la densité est écrite comme ,) sinon avec probabilité> 0, avec des conséquences terribles pour . λ exp { - λ ( x - k ) } x < 0 E log xk>0λexp{-λ(X-k)}X<0EJournalX
jbowman
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J'ai obtenu . Mathematica est plus rapide si vous utilisez la commande pour spécifier l'espace des paramètres. E[Journal(X)]=ekλΓ(0,kλ)+Journal(k)Assumptions
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La fonction gamma incomplète supérieure compte-t-elle comme une forme fermée ? (Pour moi, ce n'est pas le cas.) Cela cache simplement une intégrale via la notation.
cardinal
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@NeilG Il s'agit du code Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Vous pouvez simplement le copier et le coller sur un fichier .nb. Je ne sais pas si le Wolfram Alpha permet d'inclure des restrictions.

Réponses:

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L'intégrale souhaitée peut être combattue dans la soumission par des manipulations par force brute; ici, nous essayons plutôt de donner une dérivation alternative avec une saveur légèrement plus probabiliste.

Soit une variable aléatoire exponentielle non centrale avec le paramètre d'emplacement et le paramètre de taux . Alors où .k > 0 λ X = Z + k Z E x p ( λ )XEXp(k,λ)k>0λX=Z+kZEXp(λ)

Notez que et ainsi, en utilisant un fait standard pour calculer l'espérance des variables aléatoires non négatives , Mais, sur depuis et ainsi où la dernière égalité découle de la substitutionE log ( X / k ) = 0 P ( log ( X / k ) > z )Journal(X/k)0P ( Z > k ( e z - 1 ) ) = exp ( - λ k ( e z - 1 ) ) z 0 Z E x p ( λ ) E log ( X / k ) = e λ k 0 exp ( - λ k e z )

EJournal(X/k)=0P(Journal(X/k)>z)z=0P(Z>k(ez-1))z.
P(Z>k(ez-1))=exp(-λk(ez-1))z0ZEXp(λ)
EJournal(X/k)=eλk0exp(-λkez)z=eλkλkt-1e-tt,
t=λkez, notant que .z=t/t

L'intégrale sur la taille de droite du dernier écran est juste par définition et donc comme confirmé par le calcul Mathematica de @ Procrastinator dans les commentaires de la question.Γ(0,λk)

EJournalX=eλkΓ(0,λk)+Journalk,

NB : La notation équivalente est également souvent utilisée à la place de .E1(X)Γ(0,X)

cardinal
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+1 @Michael Chernick Il semble que tout le monde ne soit pas paresseux;).
C'est vraiment génial. Je veux juste signaler à quiconque l'implémentant que de nombreuses implémentations de la fonction gamma incomplète restreignent le premier paramètre à être strictement positif. L'identité résout ce problème mineur. Γ(0,z)=-Ei(-z)
Neil G