Si

Pour une variable aléatoire continue $X$ , si $E(|X|)$ est fini, est-ce que $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ?

C'est un problème que j'ai trouvé sur Internet, mais je ne sais pas s'il tient ou non.

Je sais que $n P(|X|>n)<E(|X|)$ tient à l'inégalité de Markov, mais je ne peux pas montrer qu'elle va à 0 comme $n$ va à l'infini.

probability expected-value probability-inequalities 456 123
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(1) La continuité n'est pas nécessaire. (2) Exprimer l'espérance comme une intégrale de la fonction de survie

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ . (3) Considérons la contrapositive: qu'impliquerait une limite non nulle sur l'attente?

whuber

@whuber bel exercice! Je pense avoir une bonne réponse, mais comme cela ressemble self-study, je ne pense pas que je devrais l'écrire ici. Puis-je créer un salon de discussion privé et vous montrer ma solution, afin que vous puissiez me dire si elle est correcte?

DeltaIV

@Delta Il s'agit d'un cas où la publication de votre réponse me semblerait satisfaisante: le PO a une sous-question spécifique et ne semble pas se contenter de chercher des réponses aux devoirs.

whuber

@whuber cela me rappelle la non-existence d'une distribution uniforme sur les nombres naturels - cela signifie-t-il que si la continuité n'est pas nécessaire ici, l'additivité dénombrable l' est ?

Bill Clark

Réponses:

Regardez la séquence de variables aléatoires définies en ne conservant que les grandes valeurs de:Il est clair que , donc Notez que etpour chaque . Ainsi, le LHS de (1) tend vers zéro par convergence dominée . $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

grand_chat
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Je pense que vous voulez dire "RHS" dans votre dernière phrase, sinon, bon travail!

jbowman

@jbowman, il signifie par le théorème de convergence dominé (notez que seul ne suffit pas pour arriver à cette conclusion). J'ai ajouté le lien vers DCT sur wikipedia

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

P.Windridge

@ P.Windridge - Je n'ai pas lu assez attentivement et j'ai associé le "So the LHS" à l'équation 1, au lieu de la phrase précédente. Ma faute.

jbowman

Notez que est une variable aléatoire. dans quel sens?

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

YHH

@YHH La convergence est ponctuelle: Pour chaque , as .

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

grand_chat

Je peux fournir une réponse pour une variable aléatoire continue (il y a sûrement une réponse plus générale). Soit: $Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

Donc

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

Maintenant, puisque par hypothèse est fini, nous avons cela $\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

alors

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

par le théorème sandwich.

DeltaIV
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@ P.Windridge pourriez-vous s'il vous plaît vérifier que mon utilisation du théorème de convergence dominé est également correcte? J'ai une quantité, , qui est non négative, et pas supérieure à une quantité dont la limite est 0, donc dans mon application de la théorème. Merci

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

DeltaIV

@ DeltaIV- d'abord, pour clarifier, " et implique " n'est PAS le théorème de convergence dominé (généralement il est appelé le théorème sandwich).

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

P.Windridge

@ DeltaIV - non, vous n'avez pas besoin de DCT, MCT suffit (cela inclut la possibilité que , mais vous ne pouvez pas dire !)

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

P.Windridge

Aucun problème. Btw, je sais que est fini par hypothèse, je viens d'expliquer où vous utilisez cette hypothèse (le MCT lui-même ne l'exige pas, contrairement au DCT, que @grand_chat a utilisé et j'espère que vous avez regardé :)).

E [Y]

$E[Y]$

P.Windridge

@ P.Windridge ah, ok! Je n'ai pas remarqué que MCT ne nécessite pas l'hypothèse. J'ai jeté un coup d'œil au DCT, c'est pourquoi je pensais que je n'en avais pas besoin pour ma preuve :) Je paie le prix de ne pas avoir appris sur l'intégration à Lebesgue à l'université ... pour cette raison, j'ai l'habitude de faire des calculs de probabilité en termes de pdfs, plutôt qu'en termes de mesures.

DeltaIV

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (uniformément intégrable)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

ie $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

Aldehu
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