Dans la plupart des cours de théorie des probabilités de base, vos fonctions de génération de moment (mgf) sont utiles pour calculer les moments d'une variable aléatoire. En particulier l'attente et la variance. Maintenant, dans la plupart des cours, les exemples qu'ils fournissent pour l'attente et la variance peuvent être résolus analytiquement en utilisant les définitions.
Existe-t-il des exemples réels de distributions où il est difficile de faire une analyse analytique de l'attente et de la variance et donc l'utilisation de mgf était nécessaire? Je demande parce que j'ai l'impression de ne pas voir exactement pourquoi elles sont importantes dans les cours de base.
Il existe de nombreux problèmes où il est difficile de trouver la moyenne et la variance en utilisant leurs formules standard comme somme / intégrale sur la masse / densité. Un exemple où cela est difficile, mais pas impossible, est la distribution du collecteur de coupons , qui a une fonction de masse de probabilité:
où la fonction désigne les nombres de Stirling du second type . Si vous essayez d'utiliser la méthode standard ici, vous vous retrouverez avec une formule récursive impliquant les nombres de Stirling, et c'est compliqué à travailler. Une méthode plus simple pour obtenir la moyenne et la variance consiste à dériver la fonction de génération cumulative (logarithme de la fonction de génération de moment) qui ne contient plus les nombres de Stirling. Il est alors relativement simple d'obtenir les cumulants de la distribution. Je vous recommande d'essayer cet exercice via les deux méthodes pour voir ce que je veux dire.S
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