Attente conditionnelle d'une dérivation tronquée du RV, distribution de Gumbel (différence logistique)

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J'ai deux variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, à savoir :ϵ1,ϵ0iidGumbel(μ,β)

F(ϵ)=exp(exp(ϵμβ)),

f(ϵ)=1βexp((ϵμβ+exp(ϵμβ))).

J'essaie de calculer deux quantités:

  1. Eϵ1Eϵ0|ϵ1[c+ϵ1|c+ϵ1>ϵ0]
  2. Eϵ1Eϵ0|ϵ1[ϵ0|c+ϵ1<ϵ0]

J'arrive à un point où je dois faire l'intégration sur quelque chose de la forme: , qui ne semble pas avoir d'intégrale sous forme fermée. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider avec ceci? J'ai peut-être fait quelque chose de mal.eex

Je pense qu'il devrait certainement y avoir une solution sous forme fermée. (EDIT: Même si ce n'est pas une forme fermée, mais qu'il y aurait un logiciel pour évaluer rapidement l'intégrale [comme Ei (x)], ce serait ok je suppose.)


ÉDITER:

Je pense qu'avec un changement de variables, laissez

y=exp(ϵ1μβ)
et

μβlny=ϵ1

Cela correspond à et respectivement.[0,)[0,exp(ϵ0cμβ)]

|J|=|dϵdy|=βy . Puis sous le changement de variable, j'ai bouilli (1) jusqu'à ...

011ex(μβlnxc[c+μβlny]eydy)exdx

Il peut y avoir une erreur d'algèbre mais je ne peux toujours pas résoudre cette intégrale ...


QUESTION CONNEXE: Attente du maximum de variables iid Gumbel

Wolfsatthedoor
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1
Il n'y a certainement pas de solution sous forme fermée. Pourquoi pensiez-vous qu'il devait y en avoir?
Gordon Smyth
@GordonSmyth Comment savez-vous qu'il n'y a pas de solution de formulaire fermé?
wolfsatthedoor

Réponses:

2

Comme les paramètres de la distribution de Gumbel sont respectivement l'emplacement et l'échelle, le problème se simplifie en calculant où et sont associés à , . Le dénominateur est disponible sous forme fermée (μ,β)

E[ϵ1|ϵ1+c>ϵ0]=+xF(x+c)f(x)dx+F(x+c)f(x)dx
fFμ=0β=1
+F(x+c)f(x)dx=+exp{exp[xc]}exp{x}exp{exp[x]}dx=a=ec+exp{(1+a)exp[x]}exp{x}dx=11+a[exp{(1+a)ex}]+=11+a
Le numérateur implique une intégrale exponentielle puisque (selon l' intégrateur WolframAlpha ) = \ frac {\ gamma + \ log (1 + a)} {1 + a} \ end {align *} D'où
+xF(x+c)f(x)dx=+xexp{(1+a)exp[x]}exp{x}dx=z=ex0+log(z)exp{(1+a)z}dz=11+a[Ei((1+a)z)log(z)e(1+a)z]0=γ+log(1+a)1+a
E[ϵ1|ϵ1+c>ϵ0]=γ+log(1+ec)
Ce résultat peut être facilement vérifié par simulation, car produire une variable de Gumberl revient à transformer un Variable uniforme (0,1), , comme . Monte Carlo et les moyens théoriques s'accordent:UX=log{log(U)}

adéquation de Monte Carlo et des moyennes théoriques lorsque $ c $ varie de -2 à 2, avec des axes logarithmiques, sur la base de simulations à 10⁵

Xi'an
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Saviez-vous que epsilon0 est également un VR?
wolfsatthedoor